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(2013•滨湖区二模)如图,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴的负半轴于点A(-5,0),交y轴于点B,过点B作BC⊥y轴交函数y=ax2+bx+c的图象于点C(-2,4).(1)设函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的另
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(2013•滨湖区二模)如图,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴的负半轴于点A(-5,0),交y轴于点B,过点B作BC⊥y轴交函数y=ax2+bx+c的图象于点C(-2,4).
(1)设函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的另一个交点为D,求△ABD的面积.
(2)若P为y轴上的一个动点,连接PA、PC,分别过A、C作PC、PA的平行线交于点Q,连接PQ.试探究:
①是否存在这样的点P,使得PQ2=PA2+PC2?为什么?
②是否存在这样的点P,使得PQ取得最小值?若存在,请求出这个最小值,并求出此时点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)设函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的另一个交点为D,求△ABD的面积.
(2)若P为y轴上的一个动点,连接PA、PC,分别过A、C作PC、PA的平行线交于点Q,连接PQ.试探究:
①是否存在这样的点P,使得PQ2=PA2+PC2?为什么?
②是否存在这样的点P,使得PQ取得最小值?若存在,请求出这个最小值,并求出此时点P的坐标;若不存在,请说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)由题意知B(0,4),
∵C(-2,4),则抛物线对称轴为直线x=-1,
根据抛物线的对称性可知:D(3,0).
∴S△ABD=
×8×4=16.
(2)①不存在这样的点P,使得PQ2=PA2+PC2.
理由如下:
∵AQ∥PC,CQ∥PA,
∴四边形PAQC为平行四边形.∴PC=AQ.
若PQ2=PA2+PC2,则PQ2=PA2+AQ2,
∴∠PAQ=90°.∴∠APC=90°.
若∠APC=90°,
则当点P在线段OB上时,可得△PAO∽△CPB.
∴
=
.
设OP=m,则
=
,
即m2-4m+10=0.这个方程没有实数根.
而当P点在y轴的负半轴上或在OB的延长线时,∠APC=90°显然不可能成立.
综上所述,可得:不存在这样的点P,使得PQ2=PA2+PC2.
②连接AC交PQ于点M,如图所示.
∵四边形PAQC为平行四边形,
∴M为AC、PQ的中点.
PQ取得最小值时,MP必定取得最小值.
显然,当P为OB的中点时,由梯形中位线定理可得MP∥CB,
∴MP⊥y轴.
此时MP取得最小值为:
×(2+5)=
.
∴PQ的最小值为7.
PQ取得最小值时,P(0,2).
∵C(-2,4),则抛物线对称轴为直线x=-1,
根据抛物线的对称性可知:D(3,0).
∴S△ABD=
1 |
2 |
(2)①不存在这样的点P,使得PQ2=PA2+PC2.
理由如下:
∵AQ∥PC,CQ∥PA,
∴四边形PAQC为平行四边形.∴PC=AQ.
若PQ2=PA2+PC2,则PQ2=PA2+AQ2,
∴∠PAQ=90°.∴∠APC=90°.
若∠APC=90°,
则当点P在线段OB上时,可得△PAO∽△CPB.
∴
PO |
CB |
AO |
PB |
设OP=m,则
m |
2 |
5 |
4−m |
即m2-4m+10=0.这个方程没有实数根.
而当P点在y轴的负半轴上或在OB的延长线时,∠APC=90°显然不可能成立.
综上所述,可得:不存在这样的点P,使得PQ2=PA2+PC2.
②连接AC交PQ于点M,如图所示.
∵四边形PAQC为平行四边形,
∴M为AC、PQ的中点.
PQ取得最小值时,MP必定取得最小值.
显然,当P为OB的中点时,由梯形中位线定理可得MP∥CB,
∴MP⊥y轴.
此时MP取得最小值为:
1 |
2 |
7 |
2 |
∴PQ的最小值为7.
PQ取得最小值时,P(0,2).
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