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2014年河南中考数学二次函数压轴题如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A(-1,0),B(5,0)两点,直线y=-x+3与y轴交于点C,与x轴交于点D.点P是x轴上方的抛物线上一动点,过点P作PF⊥x轴于点F,交直
题目详情
2014年河南中考数学二次函数压轴题
如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A(-1,0),B(5,0)两点,直线y=-x+3与y轴交于点C,与x轴交于点D.点P是x轴上方的抛物线上一动点,过点P作PF⊥x轴于点F,交直线CD于点E.设点P的横坐标为m.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若PE=5EF,求m的值;
(3)若点E′是点E关于直线PC的对称点,是否存在点P,使点E′落在y轴上?若存在,请直接写出相应的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
解法是:解:(1)将点A、B坐标代入抛物线解析式,得:
,解得,
∴抛物线的解析式为:y=-x2+4x+5.
(2)∵点P的横坐标为m,
∴P(m,-m2+4m+5),E(m,-m+3),F(m,0).
∴PE=|yP-yE|=|(-m2+4m+5)-(-m+3)|=|-m2+m+2|,
EF=|yE-yF|=|(-m+3)-0|=|-m+3|.
由题意,PE=5EF,即:|-m2+m+2|=5|-m+3|=|m+15|
①若-m2+m+2=m+15,整理得:2m2-17m+26=0,
解得:m=2或m=;
①若-m2+m+2=-(m+15),整理得:m2-m-17=0,
解得:m=或m=.
由题意,m的取值范围为:-1<m<5,故m=、m=这两个解均舍去.
∴m=2或m=.
(3)假设存在.
作出示意图如下:
∵点E、E′关于直线PC对称,
∴∠1=∠2,CE=CE′,PE=PE′.
∵PE平行于y轴,∴∠1=∠3,
∴∠2=∠3,∴PE=CE,
∴PE=CE=PE′=CE′,即四边形PECE′是菱形.
由直线CD解析式y=-x+3,可得OD=4,OC=3,由勾股定理得CD=5.
过点E作EM∥x轴,交y轴于点M,易得△CEM∽△CDO,
∴,即,解得CE=|m|,
∴PE=CE=|m|,又由(2)可知:PE=|-m2+m+2|
∴|-m2+m+2|=|m|.
①若-m2+m+2=m,整理得:2m2-7m-4=0,解得m=4或m=-;
②若-m2+m+2=-m,整理得:m2-6m-2=0,解得m=3+或m=3-.
由题意,m的取值范围为:-1<m<5,故m=3+这个解舍去.
综上所述,存在满足条件的点P,可求得点P坐标为(-,),(4,5),(3-,2-3).
不明白为什么-1<m<5,求解答。
如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A(-1,0),B(5,0)两点,直线y=-x+3与y轴交于点C,与x轴交于点D.点P是x轴上方的抛物线上一动点,过点P作PF⊥x轴于点F,交直线CD于点E.设点P的横坐标为m.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若PE=5EF,求m的值;
(3)若点E′是点E关于直线PC的对称点,是否存在点P,使点E′落在y轴上?若存在,请直接写出相应的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
解法是:解:(1)将点A、B坐标代入抛物线解析式,得:
,解得,
∴抛物线的解析式为:y=-x2+4x+5.
(2)∵点P的横坐标为m,
∴P(m,-m2+4m+5),E(m,-m+3),F(m,0).
∴PE=|yP-yE|=|(-m2+4m+5)-(-m+3)|=|-m2+m+2|,
EF=|yE-yF|=|(-m+3)-0|=|-m+3|.
由题意,PE=5EF,即:|-m2+m+2|=5|-m+3|=|m+15|
①若-m2+m+2=m+15,整理得:2m2-17m+26=0,
解得:m=2或m=;
①若-m2+m+2=-(m+15),整理得:m2-m-17=0,
解得:m=或m=.
由题意,m的取值范围为:-1<m<5,故m=、m=这两个解均舍去.
∴m=2或m=.
(3)假设存在.
作出示意图如下:
∵点E、E′关于直线PC对称,
∴∠1=∠2,CE=CE′,PE=PE′.
∵PE平行于y轴,∴∠1=∠3,
∴∠2=∠3,∴PE=CE,
∴PE=CE=PE′=CE′,即四边形PECE′是菱形.
由直线CD解析式y=-x+3,可得OD=4,OC=3,由勾股定理得CD=5.
过点E作EM∥x轴,交y轴于点M,易得△CEM∽△CDO,
∴,即,解得CE=|m|,
∴PE=CE=|m|,又由(2)可知:PE=|-m2+m+2|
∴|-m2+m+2|=|m|.
①若-m2+m+2=m,整理得:2m2-7m-4=0,解得m=4或m=-;
②若-m2+m+2=-m,整理得:m2-6m-2=0,解得m=3+或m=3-.
由题意,m的取值范围为:-1<m<5,故m=3+这个解舍去.
综上所述,存在满足条件的点P,可求得点P坐标为(-,),(4,5),(3-,2-3).
不明白为什么-1<m<5,求解答。
▼优质解答
答案和解析
因为m为P点横坐标,而P点在x轴上方的抛物线上,
抛物线于X轴的交点为(-1,0)和(5,0),抛物线开口向下
∴P点只能在-1到5之间移动,即-1
抛物线于X轴的交点为(-1,0)和(5,0),抛物线开口向下
∴P点只能在-1到5之间移动,即-1
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