定义在R上的函数f（x）的导函数为f'（x），f（0）=0若对任意x∈R，都有f（x）>f'（x）+1，则使得f（x）+ex<1成立的x的取值范围为（）A.（0，+∞）B.（-∞，0）C.（-1，+∞）D.

Question

定义在R上的函数f（x）的导函数为f'（x），f（0）=0若对任意x∈R，都有f（x）>f'（x）+1，则使得f（x）+e^x<1成立的x的取值范围为（　　）

A. （0，+∞）

B. （-∞，0）

C. （-1，+∞）

D. （-∞，1）

Answer 1

构造函数：g（x）=(f(x)-1)/(ex)，g（0）=(0-1)/(e0)=-1．
∵对任意x∈R，都有f（x）>f'（x）+1，
∴g′（x）=(f′(x)ex-[f(x)-1]ex)/((ex)2)=(f′(x)+1-f(x))/(ex)<0，
∴函数g（x）在R单调递减，
由f（x）+e^x<1化为：g（x）=(f(x)-1)/(ex)<-1=g（0），
∴x>0．
∴使得f（x）+e^x<1成立的x的取值范围为（0，+∞）．
故选：A．