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如图,在平面直角坐标系中放置一直角三角板,其顶点为A(0,1),B(2,0),O(0,0),将此三角板绕原点O逆时针旋转90°,得到△A′B′O.(1)一抛物线经过点A′、B′、B,求该抛物线

题目详情
如图,在平面直角坐标系中放置一直角三角板,其顶点为A(0,1),B(2,0),O(0,0),将此三角板绕原点O逆时针旋转90°,得到△A′B′O.
(1)一抛物线经过点A′、B′、B,求该抛物线的解析式;
(2)设点P是在第一象限内抛物线上的一动点,是否存在点P,使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积4倍?若存在,请求出P的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)在(2)的条件下,试指出四边形PB′A′B是哪种形状的四边形?并写出四边形PB′A′B的两条性质.
▼优质解答
答案和解析
(1)△A′B′O是由△ABO绕原点O逆时针旋转90°得到的,
又A(0,1),B(2,0),O(0,0),
∴A′(-1,0),B′(0,2).----------(1分)
方法一:
设抛物线的解析式为:y=ax2+bx+c(a≠0),
∵抛物线经过点A′、B′、B,
0=a−b+c
2=c
0=4a+2b+c

解得:
a=−1
b=1
c=2

∴满足条件的抛物线的解析式为y=-x2+x+2.----------(3分)
方法二:∵A′(-1,0),B′(0,2),B(2,0),
设抛物线的解析式为:y=a(x+1)(x-2)
将B′(0,2)代入得出:2=a(0+1)(0-2),
解得:a=-1,
故满足条件的抛物线的解析式为y=-(x+1)(x-2)=-x2+x+2;

(2)∵P为第一象限内抛物线上的一动点,
设P(x,y),则x>0,y>0,P点坐标满足y=-x2+x+2.
连接PB,PO,PB′,
∴S四边形PB′A′B=S△B′OA′+S△PB′O+S△POB
=
1
2
×1×2+
1
2
×2×x+
1
2
×2×y,
=x+(-x2+x+2)+1,
=-x2+2x+3.----------(5分)
∵A′O=1,B′O=2,∴△A′B′O面积为:
1
2
×1×2=1,
假设四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍,则
4=-x2+2x+3,
即x2-2x+1=0,
解得:x1=x2=1,
此时y=-12+1+2=2,即P(1,2).----------(7分)
∴存在点P(1,2),使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍.----------(8分)
(3)四边形PB′A′B为等腰梯形,答案不唯一,下面性质中的任意2个均可.
①等腰梯形同一底上的两个内角相等;②等腰梯形对角线相等;
③等腰梯形上底与下底平行;④等腰梯形两腰相等.----------(10分)
或用符号表示:
①∠B′A′B=∠PBA′或∠A′B′P=∠BPB′;②PA′=B′B;③B′P∥A′B;④B′A′=PB.----------(10分)