如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y=2x+4交x轴于点A，交y轴于点B，四边形ABCO是平行四边形，直线y=﹣x+m经过点C，交x轴于点D．（1）求m的值；（2）点P（0，t）是线段OB上的

Question

如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y=2x+4交x轴于点A，交y轴于点B，四边形ABCO是平行四边形，直线y=﹣x+m经过点C，交x轴于点D．
（1）求m的值；
（2）点P（0，t）是线段OB上的一个动点（点P不与0，B两点重合），过点P作x轴的平行线，分别交AB，OC，DC于点E，F，G，设线段EG的长为d，求d与t之间的函数关系式（直接写出自变量t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，点H是线段OB上一点，连接BG交OC于点M，当以OG为直径的圆经过点M时，恰好使∠BFH=∠ABO，求此时t的值及点H的坐标．

Answer 1

（1）方法一：如图1，∵y=2x+4交x轴和y轴于A，B，
∴A（﹣2，0）B（0，4），
∴OA=2，OB=4，
∵四边形ABCO是平行四边形，
∴BC=OA=2 过点C作CK⊥x轴于K，
则四边形BOKC是矩形，
∴OK=BC=2，CK=OB=4，
∴C（2，4）代入y=﹣x+m得，4=﹣2+m，
∴m=6；
方法二，如图2，∵y=2x+4交x轴和y轴于A，B，
∴A（﹣2，0）B（0，4），
∴OA=2 OB=4，
延长DC交y轴于点N，
∵y=﹣x+m交x轴和y轴于点D，N，
∴D（m，0）N（0，m），
∴OD=ON，
∴∠ODN=∠OND=45°，
∵四边形ABCO是平行四边形，
∴BC∥AO，BC=OA=2，
∴∠NCB=∠ODN=∠OND=45°，
∴NB=BC=2，
∴ON=NB+OB=2+4=6，
∴m=6；
（2）方法一，如图3，延长DC交y轴于N分别过点E，G作x轴的垂线 垂足分别是R，Q则四边形ERQG、四边形POQG、四边形EROP是矩形，
∴ER=PO=CQ=1，
∵tan∠BAO= = ，
∴ = ，
∴AR= t，
∵y=﹣x+6交x轴和y轴于D，N，
∴OD=ON=6，
∴∠ODN=45°，
∴tan∠ODN= ，
∴DQ=t，
又∵AD=AO+OD=2+6=8，
∴EG=RQ=8﹣ t﹣t=8﹣ t，
∴d=﹣ t+8（0＜t＜4）；
方法二，如图4，∵EG∥AD，P（O，t），
∴设E（x ₁ ，t），G（x ₂ ，t），
把E（x ₁ ，t）代入y=2x+4得t=2x ₁ +4，
∴x ₁ = ﹣2，
把G（x ₂ ，t）代入y=﹣x+6得t=﹣x ₂ +6，
∴x ₂ =6﹣t，
∴d=EG=x ₂ ﹣x ₁ =（6﹣t）﹣（ ﹣2）=8﹣ t，
即d=﹣ t+8（0＜t＜4）；
（3）方法一，如图5，∵四边形ABCO是平行四边形，
∴AB∥OC，
∴∠ABO=∠BOC，
∵BP=4﹣t，
∴tan∠AB0= =tan∠BOC= ，
∴EP=2﹣ ，
∴PG=d﹣EP=6﹣t，
∵以OG为直径的圆经过点M，
∴∠OMG=90°，∠MFG=∠PFO，
∴∠BGP=∠BOC，
∴tan∠BGP= =tan∠BOC= ，
∴ = ，
解得t=2，
∴∠BFH=∠ABO=∠BOC，∠OBF=∠FBH，
∴△BHF≌△BFO，
∴ = ，
即BF ² =BHBO，
∵OP=2，
∴PF=1，BP=2，
∴BF= = ，
∴5=BH×4，
∴BH= ，
∴HO=4﹣ = ，
∴H（0， ）；
方法二，如图6，∵四边形ABCO是平行四边形，
∴AB∥OC，
∴∠ABO=∠BOC，
∵BP=4﹣t，
∴tan∠AB0= =tan∠BOC= ，
∴EP=2﹣ ，
∴PG=d﹣EP=6﹣t，
∵以OG为直径的圆经过点M，
∴∠OMG=90°，∠MFG=∠PFO，
∴∠BGP=∠

作业帮用户 2017-10-02

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