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设函数f(x)=2x−12x+1(x∈R),g(x)=x+4x−299(x∈(0,2])(Ⅰ)求证:f(x)是奇函数,g(x)在区间(0,2]上是单调递减函数;(Ⅱ)若f(m)<g(x)对任意x∈(0,2]恒成立,求实数m的取值

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设函数f(x)=
2x−1
2x+1
(x∈R),g(x)=x+
4
x
29
9
(x∈(0,2])
(Ⅰ)求证:f(x)是奇函数,g(x)在区间(0,2]上是单调递减函数;
(Ⅱ)若f(m)<g(x)对任意x∈(0,2]恒成立,求实数m的取值范围.
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ) 证明:x∈R,f(−x)=
2−x−1
2−x+1
1−2x
1+2x
=−f(x),所以f(x)是奇函数.…(3分)
∀x1,x2∈(0,2],当0<x1<x2≤2,g(x1)−g(x2)=(x1−x2)
x1x2−4
x1x2

因为0<x1<x2≤2,所以x1-x2<0,x1x2<4,∴
x1x2−4
x1x2
<0,
g(x1)−g(x2)=(x1−x2)
x1x2−4
x1x2
>0,故有g(x1)>g(x2),
所以g(x)在区间(0,2]上是单调递减函数.…(8分)
(Ⅱ)f(m)<g(x)对任意x∈(0,2]恒成立,只需f(m)<gmin(x),即
2m−1
2m+1
<g(2)=
7
9

∵2m+1>0,
∴整理得2m<8,可得 m<3,即实数m的取值范围为(-∞,3).…(13分)