已知等比数列{an}的公比q>1，前n项和为Sn，并且满足a2+a3+a4=28，a3+2是a2和a4的等差中项．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若bn=anlog12an，Sn=b1+b2+…+bn，求使Sn>254-n•2n+1成立的正整数n的最

Question

已知等比数列{a_n}的公比q>1，前n项和为S_n，并且满足a₂+a₃+a₄=28，a₃+2是a₂和a₄的等差中项．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=a_nlog (1)/(2)a_n，S_n=b₁+b₂+…+b_n，求使S_n>254-n•2ⁿ⁺¹成立的正整数n的最小值．

Answer 1

（1）依题意有2（a₃+2）=a₂+a₄，
又a₂+a₃+a₄=28，解得₃=8．
所以a₂+a₄=20．
于是有

a1q+a1q3=20

a1q2=8

，
解得

a1=2

q=2

或

a1=32

q=(1)/(2)

，
又{a_n}是递增的，故a₁=2，q=2．
所以a_n=2ⁿ．
（2）b_n=a_nlog (1)/(2)a_n=2ⁿ•log(1)/(2)2ⁿ=-n•2ⁿ，
-S_n=1•2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ，
-2S_n=1•2²+2•2³+3•2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹，
相减可得S_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=(2(1-2n))/(1-2)-n•2ⁿ⁺¹=2ⁿ⁺¹-2-n•2ⁿ⁺¹，
由S_n>254-n•2ⁿ⁺¹，可得2ⁿ⁺¹>256=2⁸，
即为n+1>8，即n>7，
则n的最小值为8．