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设D={（x，y）|x2+y2≤R2，R＞0}，则二重积∬D(eλrcosθ−eλrsinθ)rdrdθ的值（）A．为零B．为正C．为负D．当λ＞0时为正，当λ＜0时为负
题目详情
设D={（x，y）|x2+y2≤R2，R＞0}，则二重积
(eλrcosθ−eλrsinθ)rdrdθ的值（ ）
A．为零
B．为正
C．为负
D．当λ＞0时为正，当λ＜0时为负
| ∬ |
| D |
A．为零
B．为正
C．为负
D．当λ＞0时为正，当λ＜0时为负
▼优质解答
答案和解析
∵=x=rcosθ，y=rsinθ，rdrdθ=dxdy
∴
(eλrcosθ−eλrsinθ)rdrdθ=
(eλx−eλy)dxdy
由于积分区域D是关于直线y=x对称的，且被积函数f（x，y）=eλx-eλy在有界闭区域D上连续
∴由二重积分的轮换对称性，得
(eλx−eλy)dxdy=
(eλy−eλx)dxdy
即
eλxdxdy=
eλydxdy
∴
(eλx−eλy)dxdy＝0
故选：A．
∴
| ∬ |
| D |
| ∫∫ |
| D |
由于积分区域D是关于直线y=x对称的，且被积函数f（x，y）=eλx-eλy在有界闭区域D上连续
∴由二重积分的轮换对称性，得
| ∫∫ |
| D |
| ∫∫ |
| D |
即
| ∫∫ |
| D |
| ∫∫ |
| D |
∴
| ∫∫ |
| D |
故选：A．
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