有一个自然数它与168的和恰好等于某个数的平方,它与100的和恰好等于另一个数的平方.这个数是多少?

Question

有一个自然数它与168的和恰好等于某个数的平方,它与100的和恰好等于另一个数的平方.这个数是多少?

Answer 1

设所求的数为n,由题意,得：
n + 168 = a^2……(1)
n + 100 = b^2……(2)
(1)式减去(2)式得
68 = a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)
由于68 = 1 * 68 = 2 * 34 = 4 * 17,只有三种分解方式,所以只有
i) a + b = 68,a - b = 1
或
ii) a + b = 34,a - b = 2
或
iii) a + b = 17,a - b = 4
这三种情况.
对情况i),a与b没有整数解,排除；
对情况ii),算出a = 18,b = 16,所以
n = 18^2 - 168 = 16^2 - 100 = 156；
对情况iii),a与b没有整数解,排除.
综上,只有唯一解,即n = 156.即为所求的数.