（2014•安庆三模）已知椭圆C的标准方程为：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），该椭圆经过点P（1，32），且离心率为12．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过椭圆：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）长轴上任意一点S（

Question

（2014•安庆三模）已知椭圆C的标准方程为：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a＞b＞0），该椭圆经过点P（1，(3)/(2)），且离心率为(1)/(2)．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过椭圆：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a＞b＞0）长轴上任意一点S（s，0），（-a＜s＜a）作两条互相垂直的弦AB、CD．若弦AB、CD的中点分别为M、N，证明：直线MN恒过定点．

Answer 1

（Ⅰ）∵点P（1，(3)/(2)）在椭圆上，∴(1)/(a2)+(9)/(4b2)＝1，
又∵离心率为(1)/(2)，∴e=(c)/(a)＝(1)/(2)，∴a=2c，
∴4a²-4b²=a²，解得a²=4，b²=3，
∴椭圆方程为(x2)/(4)+(y2)/(3)＝1．
（Ⅱ）证明：设直线AB的方程为x=my+s，m≠0，
则直线CD的方程为x=-(1)/(m)y+s，
联立

(x2)/(4)+(y2)/(3)＝1

x＝my+s

，得（3m²+4）y²+6smy+3s²-12=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y1+y2＝−(6sm)/(3m2+4)，y1y2＝(3s2−12)/(3m2+4)，
∴x₁+x₂=（my₁+s）（my₂+s）
=m²y₁y₂+ms（y₁+y₂）+s²
=(4s2−12m2)/(3m2+4)，
由中点坐标公式得M（(2s2−6m2)/(3m2+4)，-