若函数f(x)=4^(x-1/2)-a*2^x+27/2在区间[0,2]上的最大值为9,求实数a的值先展开f(x)=4^x/4^0.5-a*2^x+27/2=4^x/2-a*2^x+27/2设m=2^x,则f（m）=m^2/2-am+13.5,定义域变成了[1,4].这样就可以分类讨论了如果对称轴x=a2.5,那

Question

若函数f(x)=4^(x-1/2)-a*2^x+27/2在区间[0,2]上的最大值为9,求实数a的值
先展开f(x)=4^x/4^0.5-a*2^x+27/2=4^x/2-a*2^x+27/2
设m=2^x,则f（m）=m^2/2-am+13.5,
定义域变成了[1,4].这样就可以分类讨论了
如果对称轴x=a2.5,那最大值为f（1）=9,解得a=5.
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为什么要讨论a与2.5关系,

Answer 1

因为f（m）=m^2/2-am+13.5是一个一元二次方程,它的函数图象是关于它自己的对称轴对称的
因为定义域是[1,4],1,4的中间是2.5,那么函数的对称轴如果正好是2.5,那么函数在1上的值和在4上的相等,且都为最大值.但如果对称轴在2.5的左边,也就是对称轴小于2.5,那么最大值就在4上取得,也就是f(4)=9；如果对称轴在2.5的右边,也就是对称轴大于2.5,那么最大值就在1上取得,也就是f(1)=9