已知椭圆x^2/16+y^2/7=1及点M(2,1),F1,F2分别是椭圆的左右焦点,A是椭圆上的动点则已知椭圆x2/16+y2/7=1点M(2,1),F1,F2分别是椭圆的左右焦,点A是椭圆上的动点则|AM|+|AF2|的最大值
已知椭圆x2/16+y2/7=1点M(2,1),F1,F2分别是椭圆的左右焦,点A是椭圆上的动点则|AM|+|AF2|的最大值
椭圆x²/16+y²/7=1
c²=a²-b²=16-7=9
∴c=3
F1(-3,0),F2(3,0)
根据椭圆定义
|AF1|+|AF2|=2a=8
在ΔAMF1中,|AF1|<|AM|+|MF1|
A,M,F1三点共线时,|AF1|=|AM|+|MF1|
∴|AF1|≤|AM|+|MF1|
两边同时上|AF2|
|AF1|+|AF2|≤|AF2|+|AM|+|MF1|
∴|AF2|+|AM|+|MF1|≥8
∴|AM|+|AF2|≤8-|MF1|=8-√[(2+3)²+1]=8-√26
∴|AM|+|AF2|的最小值是8-√26
A到A0时,∴|AM|+|AF2|取得最小值
∵|A0M|+|A0F2|+|A1M|+|A1F2|=4a定值
将A0F1延长与椭圆相交于A1,得最大值点,
|AM|+|AF2|的最大值为4a-(8-√26)=8+√26
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