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2条直线将一个平面最多分成4部分,3条直线将一个平面最多分成7部分,4条直线将一个平面最多分成11部分,…;4=C20+C21+C22,7=C30+C31+C32,11=C40+C41+C42;….(1)n条直线将一个平面最多分成多
题目详情
2条直线将一个平面最多分成4部分,3条直线将一个平面最多分成7部分,4条直线将一个平面最多分成11部分,…;4=C20+C21+C22,7=C30+C31+C32,11=C40+C41+C42;….
(1)n条直线将一个平面最多分成多少个部分(n>1)?证明你的结论;
(2)n个平面最多将空间分割成多少个部分(n>2)?证明你的结论.
(1)n条直线将一个平面最多分成多少个部分(n>1)?证明你的结论;
(2)n个平面最多将空间分割成多少个部分(n>2)?证明你的结论.
▼优质解答
答案和解析
(1)n条直线将一个平面最多分成Cn0+Cn1+Cn2个部分(n>1).
证明:用数学归纳法证明:
①2条直线将一个平面最多分成4部分,4=C20+C21+C22,结论成立.
②假设k条直线把一个平面最多分成Ck0+Ck1+Ck2个部分(k>1),
则k+1条直线把一个平面最多分成:
Ck0+Ck1+Ck2+(k+1)
=1+k+
+(k+1)
=1+(k+1)+
=Ck+10+Ck+1k+Ck+12,
结论也成立,
由①②知,n条直线将一个平面最多分成Cn0+Cn1+Cn2个部分(n>1).
(2)n个平面最多将空间分割成Cn0+Cn1+Cn2+Cn3个部分(n>2).
证明:设n个r-1维空间可将r维空间最多分成S(n,r)个部分,
则只需证明S(n,r)=Cn0+Cn1+…+Cnr,这里n∈N*,r∈{1,2,3},且若i>n,i∈N*,定义Cni=0.
在这里,我们对r和n用双重数学归纳法:
当r=1时,n个点把直线分成1+n个部分,
所以,S(n,1)=1+n=Cn0+Cn1,结论成立.
假设当r=k时,S(n,k)=Cn0+Cn1+…Cnk,
则当r=k+1时,
易知S(1,k+1)=2,
又假设当n=j时,S(j,k+1)=Cj0+Cj1+…Cjk+1,
则当n=j+1时,第j+1个k维,
空间必与前面的j个k维空间产生j个k-1维空间的交集,
而由假设知,这j个k-1维空间把第j+1个k维空间最多分成S(j,k)=Cj0+Cj1+…Cjk个部分,
且每一部分将原有的k+1维空间分成两个部分,
所以S(j+1,k+1)=S(j,k+1)+S(j,k)
=(Cj0+Cj1+…Cjk+1)+(Cj0+Cj1+…Cjk)
=Cj+10+(Cj1+Cj0)+(Cj2+Cj1)+…+(Cjk+1+Cjk)
=Cj+10+Cj+11+…+Cj+1k+1.
因此,当r=k+1时,对n∈N*,结论成立.
由数学归纳法原理可知,对n∈N*,r∈{1,2,3},结论得到了证明.
证明:用数学归纳法证明:
①2条直线将一个平面最多分成4部分,4=C20+C21+C22,结论成立.
②假设k条直线把一个平面最多分成Ck0+Ck1+Ck2个部分(k>1),
则k+1条直线把一个平面最多分成:
Ck0+Ck1+Ck2+(k+1)
=1+k+
k(k−1) |
2 |
=1+(k+1)+
2k+k2−k |
2 |
=Ck+10+Ck+1k+Ck+12,
结论也成立,
由①②知,n条直线将一个平面最多分成Cn0+Cn1+Cn2个部分(n>1).
(2)n个平面最多将空间分割成Cn0+Cn1+Cn2+Cn3个部分(n>2).
证明:设n个r-1维空间可将r维空间最多分成S(n,r)个部分,
则只需证明S(n,r)=Cn0+Cn1+…+Cnr,这里n∈N*,r∈{1,2,3},且若i>n,i∈N*,定义Cni=0.
在这里,我们对r和n用双重数学归纳法:
当r=1时,n个点把直线分成1+n个部分,
所以,S(n,1)=1+n=Cn0+Cn1,结论成立.
假设当r=k时,S(n,k)=Cn0+Cn1+…Cnk,
则当r=k+1时,
易知S(1,k+1)=2,
又假设当n=j时,S(j,k+1)=Cj0+Cj1+…Cjk+1,
则当n=j+1时,第j+1个k维,
空间必与前面的j个k维空间产生j个k-1维空间的交集,
而由假设知,这j个k-1维空间把第j+1个k维空间最多分成S(j,k)=Cj0+Cj1+…Cjk个部分,
且每一部分将原有的k+1维空间分成两个部分,
所以S(j+1,k+1)=S(j,k+1)+S(j,k)
=(Cj0+Cj1+…Cjk+1)+(Cj0+Cj1+…Cjk)
=Cj+10+(Cj1+Cj0)+(Cj2+Cj1)+…+(Cjk+1+Cjk)
=Cj+10+Cj+11+…+Cj+1k+1.
因此,当r=k+1时,对n∈N*,结论成立.
由数学归纳法原理可知,对n∈N*,r∈{1,2,3},结论得到了证明.
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