已知函数f（x）=2cosx（sinx+cosx），x∈R．（1）求f（x）的最小正周期T；（2）求f（x）的最大值，并求f（x）取最大值时自变量x的集合．

Question

已知函数f（x）=2cosx（sinx+cosx），x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期T；
（2）求f（x）的最大值，并求f（x）取最大值时自变量x的集合．

Answer 1

（1）f（x）=2cosx（sinx+cosx）=sin2x+cos2x+1=√(2)sin（2x+(π)/(4)）+1，
∵ω=2，∴T=(2π)/(2)=π；
（2）由（1）知f（x）的最大值M=√(2)+1，
当f（x）=√(2)+1时，sin（2x+(π)/(4)）=1，
∴2x+(π)/(4)=2kπ+(π)/(2)，
即x=kπ+(π)/(8)，k∈Z，
则所求自变量x的集合为{x|x=kπ+(π)/(8)，k∈Z}．