一个函数列一致收敛的证明,设连续函数列{fn(x)}在[a,b]上一致收敛于f(x),而g(x)在（-∞,+∞）上连续.证明：{g(fn(x))}在[a,b]上一致收敛于g(f(x))

Question

一个函数列一致收敛的证明,
设连续函数列{fn(x)}在[a,b]上一致收敛于f(x),而g(x)在（-∞,+∞）上连续.证明：{g(fn(x))}在[a,b]上一致收敛于g(f(x))

Answer 1

首先每个f_n(x)都有界,设其值域为[c_n,d_n],那么{f_n(x)}一致有界,即存在M>0使得-M < inf c_n <= sup d_n < M
然后在[-M,M]上g(x)一致连续,然后完全利用一致连续和一致收敛的定义证明结论就行了,没有任何难度.