若向量B＝(0,k,k^2)能由a1＝（1＋k,1,1）,a2＝(1,1＋k,1),a3＝(1,1,1＋k)唯一线性表示,求k的值.答案为k≠0且k≠－3.麻烦给出过程.

Question

若向量B＝(0,k,k^2)能由a1＝（1＋k,1,1）,a2＝(1,1＋k,1),a3＝(1,1,1＋k)唯一线性表示,求k的值.答案为k≠0且k≠－3.麻烦给出过程.

Answer 1

向量B＝(0,k,k^2)能由a1＝（1＋k,1,1）,a2＝(1,1＋k,1),a3＝(1,1,1＋k)唯一线性表示,
就是存在唯一的a,b,c
使
(0,k,k^2)=a*（1＋k,1,1)+b*(1,1＋k,1)+c*(1,1,1＋k)
这个等价于一个线性方程组
(k+1)*a+b+c=0;
a+(k+1)*b+c=k;
a+b+(k+1)*c=k^2;
要求有唯一的解(a,b,c)
就要求他的系数矩阵的行列式
(k+1) 1 1
1 (k+1) 1
1 1 (k+1)
不等于零
既
(k+1)*[(k+1)^2-1]-[(k+1)-1]+[1-(k+1)]=(k+1)*[(k+1)+1]*[(k+1)-1]-2*[(k+1)-1]
=[(k+1)^2+(k+1)-2]*[(k+1)-1]
=[(k+1)+2]*[(k+1)-1]^2≠0
既k+1≠1,-2
既k≠0,-3