早教吧作业答案频道 -->其他-->
给定整数n≥3,证明:存在n个互不相同的正整数组成的集合S,使得对S的任意两个不同的非空子集A,B,数x∈Ax|A|与x∈Bx|B|是互素的合数.(这里x∈Xx与|X|分别表示有限数集X的所有元素之和
题目详情
给定整数n≥3,证明:存在n个互不相同的正整数组成的集合S,使得对S的任意两个不同的非空子集A,B,数
与
是互素的合数.(这里
x与|X|分别表示有限数集X的所有元素之和及元素个数.)
| ||
|A| |
| ||
|B| |
x∈X |
▼优质解答
答案和解析
证明:我们用f(X)表示有限数集X中元素的算术平均数.
第一步,我们证明,正整数的n元集合S1={(m+1)!|m=1,2,n}具有下述性质:对S1的任意两个不同的非空子集A,B,有f(A)≠f(B).
证明:对任意A⊆S1,A≠∅,设正整数k满足k!<f(A)≤(k+1)!,①
并设l是使lf(A)≥(k+1)!的最小正整数.我们首先证明必有|A|=l.
事实上,设(k'+1)!是A中最大的数,则由A⊆S1,易知A中至多有k'个元素,即|A|≤k',故f(A)≥
>k'!.又由f(A)的定义知f(A)≤(k'+1)!,故由①知k=k'.特别地有|A|≤k.
此外,显然|A|f(A)≥(k'+1)!=(k+1)!,故由l的定义可知l≤|A|.于是我们有l≤|A|≤k.
若l=k,则|A|=l;否则有l≤k-1,则(l+1)f(A)=(1+
)lf(A)≥(1+
)(k+1)!>(k+1)!+k!+…+2!.
由于(k+1)!是A中最大元,故上式表明|A|<l+1.结合|A|≥l即知|A|=l.
现在,若有S1的两个不同的非空子集A,B,使得f(A)=f(B),则由上述证明知|A|=|B|=l,故|A|f(A)=|B|f(B),但这等式两边分别是A,B的元素和,利用(m+1)!>m!+…+2!易知必须A=B,矛盾.
第二步,设K是一个固定的正整数,K>n!
f(A1),我们证明,对任何正整数x,正整数的n元集合S2={K!n!xα+1|α∈S1}具有下述性质:对S2的任意两个不同的非空子集A,B,数f(A)与f(B)是两个互素的整数.
事实上,由S2的定义易知,有S1的两个子集A1,B1,满足|A1|=|A|,|B1|=|B|,且f(A)=K!n!xf(A1)+1,f(B)=K!n!xf(B1)+1.②
显然n!f(A1)及n!f(B1)都是整数,故由上式知f(A)与f(B)都是正整数.
现在设正整数d是f(A)与f(B)的一个公约数,则n!f(A)f(B1)-n!f(B)f(A1)是d的倍数,故由②可知d|n!f(A1)-n!f(B1),但由K的选取及S1的构作可知,|n!f(A1)-n!f(B1)|是小于K的非零整数,故它是K!的约数,从而d|K!.再结合d|f(A)及②可知d=1,故f(A)与f(B)互素.
第三步,我们证明,可选择正整数x,使得S2中的数都是合数.由于素数有无穷多个,故可选择n个互不相同且均大于K的素数p1,p2,pn.将S1中元素记为α1,α2,αn,则(pi,K!n!αi)=1(1≤i≤n),且(pi2,pj2)=1(对1≤i<j≤n),故由中国剩余定理可知,同余方程组K!n!xαi≡-1(bmodpi2),i=1,2,n,
有正整数解.
任取这样一个解x,则相应的集合S2中每一项显然都是合数.结合第二步的结果,这一n元集合满足问题的全部要求.
第一步,我们证明,正整数的n元集合S1={(m+1)!|m=1,2,n}具有下述性质:对S1的任意两个不同的非空子集A,B,有f(A)≠f(B).
证明:对任意A⊆S1,A≠∅,设正整数k满足k!<f(A)≤(k+1)!,①
并设l是使lf(A)≥(k+1)!的最小正整数.我们首先证明必有|A|=l.
事实上,设(k'+1)!是A中最大的数,则由A⊆S1,易知A中至多有k'个元素,即|A|≤k',故f(A)≥
(k′+1)! |
k′ |
此外,显然|A|f(A)≥(k'+1)!=(k+1)!,故由l的定义可知l≤|A|.于是我们有l≤|A|≤k.
若l=k,则|A|=l;否则有l≤k-1,则(l+1)f(A)=(1+
1 |
l |
1 |
k−1 |
由于(k+1)!是A中最大元,故上式表明|A|<l+1.结合|A|≥l即知|A|=l.
现在,若有S1的两个不同的非空子集A,B,使得f(A)=f(B),则由上述证明知|A|=|B|=l,故|A|f(A)=|B|f(B),但这等式两边分别是A,B的元素和,利用(m+1)!>m!+…+2!易知必须A=B,矛盾.
第二步,设K是一个固定的正整数,K>n!
max |
A1⊂S1 |
事实上,由S2的定义易知,有S1的两个子集A1,B1,满足|A1|=|A|,|B1|=|B|,且f(A)=K!n!xf(A1)+1,f(B)=K!n!xf(B1)+1.②
显然n!f(A1)及n!f(B1)都是整数,故由上式知f(A)与f(B)都是正整数.
现在设正整数d是f(A)与f(B)的一个公约数,则n!f(A)f(B1)-n!f(B)f(A1)是d的倍数,故由②可知d|n!f(A1)-n!f(B1),但由K的选取及S1的构作可知,|n!f(A1)-n!f(B1)|是小于K的非零整数,故它是K!的约数,从而d|K!.再结合d|f(A)及②可知d=1,故f(A)与f(B)互素.
第三步,我们证明,可选择正整数x,使得S2中的数都是合数.由于素数有无穷多个,故可选择n个互不相同且均大于K的素数p1,p2,pn.将S1中元素记为α1,α2,αn,则(pi,K!n!αi)=1(1≤i≤n),且(pi2,pj2)=1(对1≤i<j≤n),故由中国剩余定理可知,同余方程组K!n!xαi≡-1(bmodpi2),i=1,2,n,
有正整数解.
任取这样一个解x,则相应的集合S2中每一项显然都是合数.结合第二步的结果,这一n元集合满足问题的全部要求.
看了 给定整数n≥3,证明:存在n...的网友还看了以下:
在一定条件下,合成氨反应达到平衡后混合气体中NH3的体积分数为25%在一定条件下,将一定量的N2和 2020-05-16 …
根据《合伙企业法》的规定,合伙协议未约定合伙利润分配和亏损分担比例的,合伙人之间分配利润和分担 2020-05-22 …
以保险标的的价值分类,财产保险合同可分为( )保险合同。A.定额和不定额B.定值和不定值C.足额和不 2020-05-22 …
0是质数还是和数?0到底是质数还是和数呢?合数:、质数的定义:一个数只有1和他本身两个约数,这样的 2020-06-03 …
复合函数中,内层函数的定义域跟其他量的取值有什么关系?比如说和外...复合函数中,内层函数的定义域 2020-08-02 …
1.调查的一般方法调查前需要明确———和-------,制定合理的--------.调查过程中要-- 2020-11-21 …
根据合伙企业法律制度的规定,普通合伙企业中,合伙协议未约定合伙人之间利润分配和单项选择题1、根据合伙 2020-12-05 …
按照保险标的的价值在订立合同时是否确定进行分类,保险合同分为?A.定额保险合同和补偿保险合同B.定值 2020-12-21 …
一个做曲线运动的物体,速度v和恒定合外力F的方向可能正确的是()A.B.C.D. 2020-12-22 …
将内容按顺序排列A.量各个地理事物之间的实地距离B.确定各个地点的方位,方向,并记录下来C.绘制草图 2021-01-15 …