（2010•江苏模拟）对于各项均为整数的数列{an}，如果满足ai+i（i=1，2，3，…）为完全平方数，则称数列{an}具有“P性质”；不论数列{an}是否具有“P性质”，如果存在与{an}不是同一数列的{bn

Question

（2010•江苏模拟）对于各项均为整数的数列{a_n}，如果满足a_i+i（i=1，2，3，…）为完全平方数，则称数列{a_n}具有“P性质”；
不论数列{a_n}是否具有“P性质”，如果存在与{a_n}不是同一数列的{b_n}，且{b_n}同时满足下面两个条件：①b₁，b₂，b₃，…，b_n是a₁，a₂，a₃，…，a_n的一个排列；②数列{b_n}具有“P性质”，则称数列{a_n}具有“变换P性质”．
（Ⅰ）设数列{a_n}的前n项和Sn＝(n)/(3)(n2−1)，证明数列{a_n}具有“P性质”；
（Ⅱ）试判断数列1，2，3，4，5和数列1，2，3，…，11是否具有“变换P性质”，具有此性质的数列请写出相应的数列{b_n}，不具此性质的说明理由；
（Ⅲ）对于有限项数列A：1，2，3，…，n，某人已经验证当n∈[12，m²]（m≥5）时，数列A具有“变换P性质”，试证明：当n∈[m²+1，（m+1）²]时，数列A也具有“变换P性质”．

Answer 1

（Ⅰ）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1（1分）=(n)/(3)(n2−1)−(n−1)/(3)[(n−1)2−1]＝n2−n，（2分）
又a₁=0，所以a_n=n²-n（n∈N^*）．（3分）
所以a_i+i=i²（i=1，2，3，）是完全平方数，数列{a_n}具有“P性质”．（4分）
（Ⅱ）数列1，2，3，4，5具有“变换P性质”，（5分）
数列{b_n}为3，2，1，5，4．（6分）
数列1，2，3，，11不具有“变换P性质”．（7分）
因为11，4都只有与5的和才能构成完全平方数，
所以数列1，2，3，，11不具有“变换P性质”．（8分）
（Ⅲ）设n=m²+j，1≤j≤2m+1，
注意到（m+2）²-（m²+j）=4m+4-j，
令h=4m+4-j-1，
由于1≤j≤2m+1，m≥5，所以h=4m+4-j-1≥2m+2≥12，
又m²-h=m²-4m-4+j+1≥m²-4m-2，m²-4m-2=（m-2）²-6＞0，
所以h＜m²，
即h∈[12，m²]．（10分）
因为当n∈[12，m²]（m≥5）时，数列{a_n}具有“变换P性质”，
所以1，2，，4m+4-j-1可以排列成a₁，a₂，a₃，，a_h，使得a_i+i（i=1，2，，h）都是平方数；（11分）
另外，4m+4-j，4m+4-j+1，，m²+j可以按相反顺序排列，即排列为m²+j，，4m+4-j+1，4m+4-j，
使得（4m+4-j）+（m²+j）=（m+2）²，（4m+4-j+1）+（m²+j-1）=（m+2）²，，（12分）
所以1，2，，4m+4-j-1，4m+4-j，，m²-1+j，m²+j
可以排成a₁，a₂，a₃，，a_h，m²+j，，4m+4-j满足a_i+i（i=1，2，，m²+j）都是平方数．（13分）