如图,△ABC是直角三角形,∠ABC=90°,以AB为直径的⊙O交AC于点E,点D是BC边的中点,连接DE.（1）求证：DE与⊙O相切.（2）若⊙O的半径为根号3,DE=3.求AE.http://hi.baidu.com/%B0%A3%C0%FB%C5%B5%B5%C4%B5%C8%B4%FD/album/i

Question

如图,△ABC是直角三角形,∠ABC=90°,以AB为直径的⊙O交AC于点E,点D是BC边的中点,连接DE.
（1）求证：DE与⊙O相切.
（2）若⊙O的半径为根号3,DE=3.求AE.
http://hi.baidu.com/%B0%A3%C0%FB%C5%B5%B5%C4%B5%C8%B4%FD/album/item/fcf6540f817a67ceab64579b.html

Answer 1

（1）证明：连接OE,则：OA＝OB＝OE
故：∠ABE＝∠OEB
又AB为圆O的直径,故：∠AEB＝90度
故：∠BEC＝90度
又：点D是BC边的中点
故：BD＝DE＝DC＝1/2BC
故：∠EBD＝∠DEB
故：∠OED＝∠OEB＋∠DEB＝∠BEC＋∠EBD＝∠ABC=90度
故：DE与圆O相切
（2）DE=3 则：BC＝2DE＝6
圆O的半径为√3,即：AB＝2√3 故：AC＝4√3
因为∠ABC=90度,故：CB是圆O的切线
故：CB•CB＝CE•AC 故：CE＝3√3 故：AE＝AC－CE＝√3
或AB＝2√3＝1/2AC 求出∠C＝30度 ∠A＝60度
又OA＝OE 故：△OAE为等边△ 故：AE＝OA＝√3