如图，已知圆O1与圆O2相交于A，B两点，直线O1A交圆O1于C，交圆O2于D，连接CB并延长交圆O2于E，AF切圆O1于A，交CE于F．（1）求证：CACD＝AFDE；（2）若CAAD＝32，圆O1的半径为2，且∠C=30°，求DE的长

Question

如图，已知圆O₁与圆O₂相交于A，B两点，直线O₁A交圆O₁于C，交圆O₂于D，连接CB并延长交圆O₂于E，AF切圆O₁于A，交CE于F．
（1）求证：(CA)/(CD)＝(AF)/(DE)；
（2）若(CA)/(AD)＝(3)/(2)，圆O₁的半径为2，且∠C=30°，求DE的长．

Answer 1

（1）证明：连接AB．
∵AC是直径，
∴∠CBA=90°．
又∵四边形ABED内接于⊙O₂，
∴∠CBA=∠D=90°．
又∵AF切⊙O₁于A点，
∴∠CAF=90°．
∴AF∥DE．
∴(CA)/(CD)＝(AF)/(DE)．

（2）∵(CA)/(AD)＝(3)/(2)，
又∵CA=1，
∴CD=(20)/(3)．
在Rt△CDE中，tan30°=(DE)/((20)/(3))，
∴DE=(20)/(9)√(3)．