如图，设圆内接四边形ABCD的边BC为圆的直径，其余三边为a、b、c，求证：这个圆的直径是方程x3-（a2+b2+c2）x-2abc=0的根．

Question

如图，设圆内接四边形ABCD的边BC为圆的直径，其余三边为a、b、c，求证：这个圆的直径是方程x³-（a²+b²+c²）x-2abc=0的根．

Answer 1

设圆的直径为BC=x，又AB=a，AD=b，DC=c，
连接BD，
由余弦定理得：
a²+b²-2abcos∠A=BD²，
c²+x²-2cxcos∠C=BD²，
又∠A+∠C=180°﹙圆内接四边形对角互补﹚，
∴cos∠A=cos﹙180°-∠C﹚=-cos∠C，
∴x²-2（ab+cx）cos∠C+c²-a²-b²=0；
又BC是直径，
∴∠BDC=90°，
∴cos∠C=(c)/(x)，
∴x²-2（ab+cx）•(c)/(x)+c²-a²-b²=0，
化简得x³-﹙a²+b²+c²﹚x-2abc=0，
即该圆的直径是方程x³-（a²+b²+c²）x-2abc=0的根．