设向量α=(a1，a2…an)T，β=(b1，b2，…bn)T，都是非零向量，且满足条件αTβ=0，记n阶矩阵A=αTβ．求：（1）A2；（2）矩阵A的特征值和特征向量．

Question

设向量

α

=(a1，a2…an)T，

β

=(b1，b2，…bn)T，都是非零向量，且满足条件

α

^T

β

=0，记n阶矩阵A=

α

^T

β

．求：
（1）A²；
（2）矩阵A的特征值和特征向量．

Answer 1

（1）
由A=α^Tβ和α^Tβ=0，有：
A²=（α^Tβ）（α^Tβ）=α（β^Tα）β^T=（β^Tα）αβ^T=（α^Tβ）αβ^T=O，
即A为n 阶零矩阵．

（2）
设λ为n阶矩阵的任一特征值，属于特征值λ的特征向量为x（x≠0），
则：Ax=λx，
于是：A²x=λAx=λ²x，
因为A²=O，所以λ²x=0，
因为x≠0，故：λ=0，即矩阵A的特征值全为零，
不妨设向量α，β中分量a₁≠0，b₁≠0，
对齐次线性方程组（0E-A）x=0的系数矩阵施以初等变换：
−A＝

−a1b1	−a1b2	…	−a1bn
−a2b1	−a2b2	…	−a2bn
⋮	⋮		⋮
−anb1	−anb2	…	−anbn

→

b1	b2	…	bn
0	0	…	0
⋮	⋮		⋮
0	0	…	0

，
由此可得该方程组的基础解系为：
α1＝(−(b2)/(b1)，1，0，…，0)T，
α2＝(−(b3)/(b1)，0，1，…，0)T，
…
αn−1＝(−(bn)/(b1)，0，0，…，1)T，
于是A属于特征值λ=0的全部特征向量为：
c₁a₁+c₂a₂+…+c_n-1a_n-1（c₁，c₂，…，c_n-1是不全为零的任意常数）．