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(1)设1,2,3,…,9的任一排列为al,a2,a3…,a9.求证:(al-1)(a2-2)…(a9-9)是一个偶数.(2)在数11,22,33,44,55,…20022002,20032003,这些数的前面任意放置“+”或“一”号,
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(1)设1,2,3,…,9的任一排列为al,a2,a3…,a9.求证:(al-1)( a2-2)…(a9-9)是一个偶数.
(2)在数11,22,33,44,55,…20022002,20032003,这些数的前面任意放置“+”或“一”号,并顺次完成所指出的运算,求出代数和,证明:这个代数和必定不等于2003.
(2)在数11,22,33,44,55,…20022002,20032003,这些数的前面任意放置“+”或“一”号,并顺次完成所指出的运算,求出代数和,证明:这个代数和必定不等于2003.
▼优质解答
答案和解析
(1)用反证法.
假设(a1-1)(a2-2)…(a9-9)为奇数,则a1-1,a2-2,…,a9-9都为奇数,
则a1,a3,a5,a7,a9为偶数,a2,a4,a6,a8为奇数,
而1-9是5个奇数、4个偶数,
奇偶数矛盾,因此假设不成立;
(2)∵11,22,33,44,55,…20022002,20032003,与1,2,3,4,5,…2002,2003的奇偶性相同,
∴在11,22,33,44,55,…20022002,20032003的任意数前加“+”或“-”的奇偶性 与在1,2,3,4,5,…2002,2003的任意数前加“+”或“-”的奇偶性相同,
∵两个整数的和与差的奇偶性相同,且1+2+3+4+5+…+2003=2003×(2003+1)÷2=2003×1002是偶数,
∴这个代数式的和应为偶数,
即这个代数式的和必定不等于2003.
假设(a1-1)(a2-2)…(a9-9)为奇数,则a1-1,a2-2,…,a9-9都为奇数,
则a1,a3,a5,a7,a9为偶数,a2,a4,a6,a8为奇数,
而1-9是5个奇数、4个偶数,
奇偶数矛盾,因此假设不成立;
(2)∵11,22,33,44,55,…20022002,20032003,与1,2,3,4,5,…2002,2003的奇偶性相同,
∴在11,22,33,44,55,…20022002,20032003的任意数前加“+”或“-”的奇偶性 与在1,2,3,4,5,…2002,2003的任意数前加“+”或“-”的奇偶性相同,
∵两个整数的和与差的奇偶性相同,且1+2+3+4+5+…+2003=2003×(2003+1)÷2=2003×1002是偶数,
∴这个代数式的和应为偶数,
即这个代数式的和必定不等于2003.
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