记Sn为等比数列{an}的前n项和．已知S2=2，S3=-6．（1）求{an}的通项公式；（2）求Sn，并判断Sn+1，Sn，Sn+2是否能成等差数列．

Question

记S_n为等比数列{a_n}的前n项和．已知S₂=2，S₃=-6．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）求S_n，并判断S_n+1，S_n，S_n+2是否能成等差数列．

Answer 1

（1）设等比数列{a_n}首项为a₁，公比为q，
则a₃=S₃-S₂=-6-2=-8，则a₁=(a3)/(q2)=(-8)/(q2)，a₂=(a3)/(q)=(-8)/(q)，
由a₁+a₂=2，(-8)/(q2)+(-8)/(q)=2，整理得：q²+4q+4=0，解得：q=-2，
则a₁=-2，a_n=（-2）（-2）^n-1=（-2）ⁿ，
∴{a_n}的通项公式a_n=（-2）ⁿ；
（2）由（1）可知：S_n=(a1(1-qn))/(1-q)=(-2[1-(-2)n])/(1-(-2))=-(1)/(3)（2+（-2）ⁿ⁺¹），
则S_n+1=-(1)/(3)（2+（-2）ⁿ⁺²），S_n+2=-(1)/(3)（2+（-2）ⁿ⁺³），
由S_n+1+S_n+2=-(1)/(3)（2+（-2）ⁿ⁺²）-(1)/(3)（2+（-2）ⁿ⁺³）=-(1)/(3)[4+（-2）×（-2）ⁿ⁺¹+（-2）²×+（-2）ⁿ⁺¹]，
=-(1)/(3)[4+2（-2）ⁿ⁺¹]=2×[-(1)/(3)（2+（-2）ⁿ⁺¹）]，
=2S_n，
即S_n+1+S_n+2=2S_n，
∴S_n+1，S_n，S_n+2成等差数列．