已知数列{an}满足a1=1,设该数列的前n项的和为S,且Sn,S(n+1),S(a1)成等差数列,用数学归纳法证明：Sn=(2^n-1)/[2^(n-1)]是Sn,S(n+1),2a1成等差数列

Question

已知数列{an}满足a1=1,设该数列的前n项的和为S,且Sn,S(n+1),S(a1)成等差数列,用数学归纳法证明：Sn=(2^n -1)/[2^(n-1)]
是Sn,S(n+1),2a1成等差数列

Answer 1

证明:
(1)当n=1时 左边=S1=a1=1 右边=（2^1 -1)/[2^(1-1)]=1 左边=右边
所以不等式成立
(2)假设当n=k时 等式成立即
Sk=(2^k -1)/[2^(k-1)]
那么当n=k+1时
因a1=1,且Sn,Sn+1,2a1成等差数列
∴Sn+1＝1+1/2*Sn
∴Sk+1={Sk+2a1}/2={(2^k -1)/[2^(k-1)]+2}/2
然后分子分母通乘以2^(k-1） 得Sk+1=(2^k -1+2^k)/2^k={2^(k+1)-1}/2^k
所以Sk+1=(2^k+1 -1)/2^k与原式相符合
故等式成立