如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=7，点E，F分别在边AD、BC上，且B、F关于过点E的直线对称，如果以CD为直径的圆与EF相切，那么AE=．

Question

如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=7，点E，F分别在边AD、BC上，且B、F关于过点E的直线对称，如果以CD为直径的圆与EF相切，那么AE=___．

Answer 1

如图，设⊙O与EF相切于M，连接EB，作EH⊥BC于H．

由题意易知四边形AEHB是矩形，设AE=BH=x，
由切线长定理可知，ED=EM，FC=FM，
∵B、F关于EH对称，
∴HF=BH=x，ED=EM=7-x，FC=FM=7-2x，EF=14-3x，
在Rt△EFH中，∵EF²=EH²+HF²，
∴4²+x²=（14-3x）²，
解得x=3或(15)/(2)（舍弃），
∴AE=3，
故答案为3．