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如图,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,E是对角线AC上任意一点,F是线段BC延长线上一点,且CF=AE,连接BE、EF.(1)如图1,当E是线段AC的中点,且AB=2时,求△ABC的面积;(2)如图2,当点E不是线段A
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如图,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,E是对角线AC上任意一点,F是线段BC延长线上一点,且CF=AE,连接BE、EF.
(1)如图1,当E是线段AC的中点,且AB=2时,求△ABC的面积;
(2)如图2,当点E不是线段AC的中点时,求证:BE=EF;
(3)如图3,当点E是线段AC延长线上的任意一点时,(2)中的结论是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由.
(1)如图1,当E是线段AC的中点,且AB=2时,求△ABC的面积;
(2)如图2,当点E不是线段AC的中点时,求证:BE=EF;
(3)如图3,当点E是线段AC延长线上的任意一点时,(2)中的结论是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵四边形ABCD是菱形,∠ABC=60°,
∴△ABC是等边三角形,又E是线段AC的中点,
∴BE⊥AC,AE=
AB=1,
∴BE=
,
∴△ABC的面积=
×AC×BE=
;
(2)如图2,作EG∥BC交AB于G,
∵△ABC是等边三角形,
∴△AGE是等边三角形,
∴BG=CE,
∵EG∥BC,∠ABC=60°,
∴∠BGE=120°,
∵∠ACB=60°,
∴∠ECF=120°,
∴∠BGE=∠ECF,
在△BGE和△ECF中,
,
∴△BGE≌△ECF,
∴EB=EF;
(3)成立,
如图3,作EH∥BC交AB的延长线于H,
∵△ABC是等边三角形,
∴△AHE是等边三角形,
∴BH=CE,
在△BHE和△ECF中,
,
∴△BHE≌△ECF,
∴EB=EF.
∴△ABC是等边三角形,又E是线段AC的中点,
∴BE⊥AC,AE=
1 |
2 |
∴BE=
3 |
∴△ABC的面积=
1 |
2 |
3 |
(2)如图2,作EG∥BC交AB于G,
∵△ABC是等边三角形,
∴△AGE是等边三角形,
∴BG=CE,
∵EG∥BC,∠ABC=60°,
∴∠BGE=120°,
∵∠ACB=60°,
∴∠ECF=120°,
∴∠BGE=∠ECF,
在△BGE和△ECF中,
|
∴△BGE≌△ECF,
∴EB=EF;
(3)成立,
如图3,作EH∥BC交AB的延长线于H,
∵△ABC是等边三角形,
∴△AHE是等边三角形,
∴BH=CE,
在△BHE和△ECF中,
|
∴△BHE≌△ECF,
∴EB=EF.
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