如图，AB是半圆的直径，线段CA⊥AB于点A，线段DB上AB⊥点B，AB=2，AC=1，BD=3，P是半圆上的一个动点，则封闭图形ACPDB的最大面积是（）A．2+2B．1+2C．3+2D．3+2

Question

如图，AB是半圆的直径，线段CA⊥AB于点A，线段DB上AB⊥点B，AB=2，AC=1，BD=3，P是半圆上的一个动点，则封闭图形ACPDB的最大面积是（　　）

A．2+√(2)
B．1+√(2)
C．3+√(2)
D．√(3)+√(2)

Answer 1

如图，连接DC，并延长交BA的延长线于点G，欲使封闭图形ACPDB的面积最大，因梯形ACDB的面积为定值，故只需△CPD的面积最小．而CD为定值，故只需使动点P到CD的距离最小．为此作半圆平行于CD的切线EF，设切点为P′，并分别交BD及BA的延长线于点F，E．连接OC，
∵CA⊥AB，DB⊥AB，
∴△CGA∽△DGB，
∴(CA)/(DB)=(GA)/(GB)，
∴GA=AO=AC=1．
∴OC⊥GD．OC⊥EF，
∴切点P′就是OC与半圆的交点．
即当动点P取在P′的位置时，到CD的距离最小，而OC=√(2)，
∴CP´=√(2)-1，
∴S_△CP´D=(1)/(2)×2√(2)×（√(2)-1）=2√(2)，
∴封闭图形ACPDB的最大面积为：(1)/(2)×（1+3）×2-（2-√(2)）=4-2+√(2)=2+√(2)．
故选A．