设A=1a10，B=011b，当a，b为何值时，存在矩阵C使得AC-CA=B，并求所有矩阵C．

Question

设A=

1	a
1	0

，B=

0	1
1	b

，当a，b为何值时，存在矩阵C使得AC-CA=B，并求所有矩阵C．

Answer 1

令C＝

x1	x2
x3	x4

，
则：
AC＝

1	a
1	0

.

x1	x2
x3	x4

=

x1+ax3	x2+ax4
x1	x2

，CA＝

x1	x2
x3	x4

．

1	a
1	0

=

x1+x2	ax1
x3+x4	ax3

，
从而：AC-CA=

ax3−x2	−ax1+x2+ax4
x1−x3−x4	x2−ax3

，
则由AC-CA=B，得：

−x2+ax3＝0

−ax1+x2+ax4＝1

x1−x3−x4＝1

x2−ax3＝b

，
这是4元非齐次线性方程组，欲使C存在，此线性方程组必须有解，
于是：

.

A

＝

0	−1	a	0	0
−a	1	0	a	1
1	0	−1	−1	1
0	1	−a	0	b

r1↔r3，r2+ar1

1	0	−1	−1	1
0	1	−a	0	1+a
0	−1	a	0	0
0	1	−a	0	b

r3+r2，r4−r1

1	0	−1	−1	1
0	1	−a	0	1+a
0	0	0	0	1+a
0	0	0	0	b−a−1

r2−r3，r4−r3

1	0	−1	−1	1
0	1	−a	0	0
0	0	0	0	1+a
0	0	0	0	b

所以，当a=-1，b=0时，线性方程组有解，
即存在C，使：AC-CA=B．
又当a=-1，b=0时，

.

A

r

1	0	−1	−1	1
0	1	1	0	0
0	0	0	0	0
0	0	0	0	0

，
容易解得：X＝c1

1

−1

1

0

+c2

1

0

0

1

+

1

0

0

0

=

c1+c2+1

−c1

c1

c2

，
∴C＝

c1+c2+1	−c1
c1	c2

，其中c₁，c₂为任意常数