质量均匀分布的刚性杆AB、CD如图放置，A点与水平地面接触，与地面间的静摩擦因数为μA，B、D两点与光滑竖直墙面接触，杆AB和CD接触处的静摩擦因数为μC，两杆的质量均为m，长度均为l．（

Question

质量均匀分布的刚性杆AB、CD如图放置，A点与水平地面接触，与地面间的静摩擦因数为μ_A，B、D两点与光滑竖直墙面接触，杆AB和CD接触处的静摩擦因数为μ_C，两杆的质量均为m，长度均为l．
（1）已知系统平衡时AB杆与墙面夹角θ，求CD杆与墙面的夹角α应满足的条件（用α及已知量满足的方程式表示）．
（2）若μ_A=1.00，μ_C=0.866，θ=60.0°，求系统平衡时α的取值范围（用数值计算求出）．

Answer 1

建立如图所示坐标系Oxy．两杆的受力情况如图：f₁为地面作用于杆AB的摩擦力，N₁为地面对杆AB的支持力，f₂、N₂为杆AB作用于杆CD的摩擦力和支持力，N₃、N₄分别为墙对杆AB和CD的作用力，mg为重力．取杆AB和CD构成的系统为研究对象，系统平衡时，由平衡条件有：
N₄+N₃-f₁=0 （1）
 N₁-2mg=0 （2）
 以及对A点的力矩：(1)/(2)mglsinθ+mg（lsinθ-(1)/(2)lsinα-N₃lcosθ-N₄（lcosθ+lcosα-CF）=0
即：(3)/(2)mglsinθ-(1)/(2)mglsinα-N₃lcosθ-N₄（lcosθ+lcosα-CF）=0        （3）
式中CF待求．F是过C的竖直线与过B的水平线的交点，E为BF与CD的交点．由几何关系有：
                               CF=lsinαcotθ      （4）
取杆CD为研究对象，由平衡条件有：

N₄+N₂cosθ-f₂sinθ=0      （5）
              N₂sinθ+f₂cosθ-mg=0      （6）
以及对C点的力矩：N₄lcosα-(1)/(2)mglsinα=0 （7）
解以上各式可得：N₄=(1)/(2)mgtanα         （8）
N₃=（(3)/(2)tanθ-(1)/(2)tanα-(sinα)/(cosθ)+(1)/(2)•(tanαsinα)/(sinθ)）mg    （9）
  f₁=（(3tanθ)/(2)-(sinα)/(cosθ)+(1)/(2)•(tanαsinα)/(sinθ)）mg         （10）
N₁=2mg                                      （11）
 N₂=（sinθ-(1)/(2)tanαcosθ）mg                       （12）
 f₂=（cosθ+(1)/(2)tanαsinθ）mg                      （13）
CD杆平衡的必要条件为：f₂≤μ_cN₂            （14）
由（12）、（13）、（14）式得：tanα≤(2(μcsinθ−cosθ))/(μccosθ+sinθ)              （15）
AB杆平衡的必要条件为：f₁≤μ_AN₁                     &n