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对于某一函数给出如下定义:若存在实数p,当其自变量的值为p时,其函数值等于p,则称p为这个函数的不变值.在函数存在不变值时,该函数的最大不变值与最小不变值之差q称为这个函数
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对于某一函数给出如下定义:若存在实数p,当其自变量的值为p时,其函数值等于p,则称p为这个函数的不变值.在函数存在不变值时,该函数的最大不变值与最小不变值之差q称为这个函数的不变长度.特别地,当函数只有一个不变值时,其不变长度q为零.例如,下图中的函数有0,1两个不变值,其不变长度q等于1.
(1)分别判断函数y=x-1,y=
,y=x2有没有不变值?如果有,直接写出其不变长度;
(2)函数y=2x2-bx.
①若其不变长度为零,求b的值;
②若1≤b≤3,求其不变长度q的取值范围;
(3)记函数y=x2-2x(x≥m)的图象为G1,将G1沿x=m翻折后得到的函数图象记为G2.函数G的图象由G1和G2两部分组成,若其不变长度q满足0≤q≤3,则m的取值范围为.
(1)分别判断函数y=x-1,y=
1 |
x |
(2)函数y=2x2-bx.
①若其不变长度为零,求b的值;
②若1≤b≤3,求其不变长度q的取值范围;
(3)记函数y=x2-2x(x≥m)的图象为G1,将G1沿x=m翻折后得到的函数图象记为G2.函数G的图象由G1和G2两部分组成,若其不变长度q满足0≤q≤3,则m的取值范围为.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵函数y=x-1,令y=x,则x-1=x,无解;
∴函数y=x-1没有不变值;
∵函数y=
,令y=x,则x=
,解得:x=±1,
∴函数y=
的不变值为±1,q=1-(-1)=2,
∵函数y=x2,令y=x,则x=x2,解得:x1=0,x2=1,
∴函数y=x2的不变值为:0或1,q=1-0=1;
(2)①函数y=2x2-bx,令y=x,则x=2x2-bx,
整理得:x(2x-b-1)=0,
∵q=0,
∴x=0且2x-b-1=0,
解得:b=-1;
②由①知:x(2x-b-1)=0,
∴x=0或2x-b-1=0,
解得:x1=0,x2=
,
∵1≤b≤3,
∴1≤x2≤2,
∴1-0≤q≤2-0,
∴1≤q≤2;
(3)∵记函数y=x2-2x(x≥m)的图象为G1,将G1沿x=m翻折后得到的函数图象记为G2.
∴函数G的图象关于x=m对称,
∴G:y=
,
∵当x2-2x=x时,x3=0,x4=3;
当(2m-x))2-2(2m-x)=x时,△=1+8m,
当△<0,即m<-
时,q=x4-x3=3;
当△≥0,即m≥-
时,x5=
,x6=
,
①当-
≤m≤0时,x3=0,x4=3,
∴x6<0,
∴x4-x6>3(不符合题意,舍去);
②∵当x5=x4时,m=1,当x6=x3时,m=3;
当0<m<1时,x3=0(舍去),x4=3,
此时0<x5<x4,x6<0,q=x4-x6>3(舍去);
当1≤m≤3时,x3=0(舍去),x4=3,
此时0<x5<x4,x6>0,q=x4-x6<3;
当m>3时,x3=0(舍去),x4=3(舍去),
此时x5>3,x6<0,q=x5-x6>3(舍去);
综上所述:m的取值范围为1≤m≤3或m<-
.
∴函数y=x-1没有不变值;
∵函数y=
1 |
x |
1 |
x |
∴函数y=
1 |
x |
∵函数y=x2,令y=x,则x=x2,解得:x1=0,x2=1,
∴函数y=x2的不变值为:0或1,q=1-0=1;
(2)①函数y=2x2-bx,令y=x,则x=2x2-bx,
整理得:x(2x-b-1)=0,
∵q=0,
∴x=0且2x-b-1=0,
解得:b=-1;
②由①知:x(2x-b-1)=0,
∴x=0或2x-b-1=0,
解得:x1=0,x2=
b+1 |
2 |
∵1≤b≤3,
∴1≤x2≤2,
∴1-0≤q≤2-0,
∴1≤q≤2;
(3)∵记函数y=x2-2x(x≥m)的图象为G1,将G1沿x=m翻折后得到的函数图象记为G2.
∴函数G的图象关于x=m对称,
∴G:y=
|
∵当x2-2x=x时,x3=0,x4=3;
当(2m-x))2-2(2m-x)=x时,△=1+8m,
当△<0,即m<-
1 |
8 |
当△≥0,即m≥-
1 |
8 |
4m+1+
| ||
2 |
4m+1-
| ||
2 |
①当-
1 |
8 |
∴x6<0,
∴x4-x6>3(不符合题意,舍去);
②∵当x5=x4时,m=1,当x6=x3时,m=3;
当0<m<1时,x3=0(舍去),x4=3,
此时0<x5<x4,x6<0,q=x4-x6>3(舍去);
当1≤m≤3时,x3=0(舍去),x4=3,
此时0<x5<x4,x6>0,q=x4-x6<3;
当m>3时,x3=0(舍去),x4=3(舍去),
此时x5>3,x6<0,q=x5-x6>3(舍去);
综上所述:m的取值范围为1≤m≤3或m<-
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