斜率为22的直线l与椭圆x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)交与不同的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（）A.22B.12C.33D.13

Question

斜率为(√(2))/(2)的直线l与椭圆(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1(a＞b＞0)交与不同的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（　　）
A. (√(2))/(2)
B. (1)/(2)
C. (√(3))/(3)
D. (1)/(3)

Answer 1

两个交点横坐标是-c，c
所以两个交点分别为（-c，-(√(2))/(2)c）（c，(√(2))/(2)c）
代入椭圆(c2)/(a2)+(c2)/(2b2)=1
两边乘2a²b²
则c²（2b²+a²）=2a²b²
∵b²=a²-c²
c²（3a²-2c²）=2a^4-2a²c²
2a^4-5a²c²+2c^4=0
（2a²-c²）（a²-2c²）=0
(c2)/(a2)=2，或(1)/(2)
∵0＜e＜1
所以e=(c)/(a)=(√(2))/(2)
故选A