准备一张圆形纸片,在圆内任取不同于圆心的一点F,（接上）将纸片折起,使圆周过点F,然后将纸展开,就得到一条折痕L,这样继续折下去,得到若干折痕.这些折痕的轮廓形成什么曲线?如何证明?

Question

准备一张圆形纸片,在圆内任取不同于圆心的一点F,
（接上）将纸片折起,使圆周过点F,然后将纸展开,就得到一条折痕L,这样继续折下去,得到若干折痕.这些折痕的轮廓形成什么曲线?如何证明?

Answer 1

抛物线
我们先来折椭圆．
取一个圆纸片,圆心为O．在圆内取定一点A．将圆片的边缘向圆内折叠,使圆片的边缘通过定点A,或者说使圆片边缘上的一点P与定点A重合．每取一点P折一次就得一折痕(如图1)．当点P在圆周上取得足够多且密时,所得的众多折痕就显现出一个椭圆的轮廓．它和所有的折痕直线都相切(见图2)．
这个椭圆以圆心O和定点A为它的两个焦点,已知圆的半径是它的长轴长．现在我们来证明,用上述方法折得的所有折痕,恰好组成该椭圆的切线族．
我们知道椭圆的焦点和切线有如下性质．
椭圆的焦点切线性质(图3)：椭圆上任一点和两个焦点所连线段与椭圆在该点的切线构成相等的角；反之,若过椭圆上一点的直线使两个焦点在它的同侧,且它与该点和两个焦点所连线段构成相等的角,则该直线必为椭圆的切线．
先证依上法折出的每一条折痕都与上述椭圆相切,如图4,设将圆周上一点P折到圆O内定点A所得折痕为RS．于是RS垂直平分线段AP．连OP交折痕RS于N．连AN,则AN＝PN,于是ON＋AN＝OP,即知点N在以O,A为焦点,长轴长为OP的椭圆上．又由∠RNO＝∠SNP＝∠SNA,根据椭圆的焦点切线性质,即证明折痕RS是上述椭圆(在点N处)的切线．
再证上述椭圆的每一条切线都可用上法折出．如图4,设RS是椭圆在点N处的切线．连ON,AN．则由椭圆的焦点切线性质得∠RNO＝∠SNA,延长ON,与圆O交于P,于是∠PNS＝∠ANS．再由NO＋NA＝OP得NP＝NA．连PA交RS于M,于是△PNM≌△ANM,得MN垂直平分线段PA,即RS垂直平分线段PA,即RS是把圆周上的点P折到圆内定点A所得的折痕．
把上述两方面合起来,我们就证明了折痕的集合恰是上述椭圆的切线的集合,也就是所有的折痕组成了椭圆的切线族,即我们折出了上述椭圆．