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椭圆x²/a²+y²/b²=1(a>b>O)在左焦点F,A(-a,O)、B(0,b)是两个顶点,如果F到直线AB的距离等于b/√7,那么椭圆的离心率等于()答案是½.
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椭圆x²/a²+y²/b²=1(a>b>O)在左焦点F,A(-a,O)、B(0,b)是两个顶点,如果F到直线AB的距离等于b/√7,那么椭圆的离心率等于( )
答案是½.
答案是½.
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答案和解析
直线AB的方程:(y-0)/(x+a)=(b-0)/(0+a),即 ba-ay+ab=0
设半焦距为c,则F(-c,0),根据点到直线距离公式有:
|b*(-c)-a*0+ab|/√(b²+a²)=b/√7
即 b(a-c)/√(b²+a²)=b/√7
即 a-c=√[(b²+a²)/7]
又b²=a²-c²,代入得
a-c=√[(2a²-c²)/7]
两边平方并整理得:5a²-14ac+8c²=0
分解因式得:(5a-4c)(a-2c)=0
由(5a-4c)=0得离心率e=c/a=5/4>1,但椭圆离心率<1,不合题意,舍去;
由(a-2c)=0得离心率e=c/a=1/2.
所以该椭圆离心率e=1/2.
设半焦距为c,则F(-c,0),根据点到直线距离公式有:
|b*(-c)-a*0+ab|/√(b²+a²)=b/√7
即 b(a-c)/√(b²+a²)=b/√7
即 a-c=√[(b²+a²)/7]
又b²=a²-c²,代入得
a-c=√[(2a²-c²)/7]
两边平方并整理得:5a²-14ac+8c²=0
分解因式得:(5a-4c)(a-2c)=0
由(5a-4c)=0得离心率e=c/a=5/4>1,但椭圆离心率<1,不合题意,舍去;
由(a-2c)=0得离心率e=c/a=1/2.
所以该椭圆离心率e=1/2.
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