已知椭圆x/8+y/6=1,与圆(x-1)+y=1相切的直线l:y=kx+t交椭圆于M、N两点,若已知椭圆x/8+y/6=1,与圆(x-1)+y=1相切的直线l:y=kx+t交椭圆于M、N两点,若椭圆上一点C满足OM向量+ON向量=λOC向量,求实数λ的取

Question

已知椭圆x /8+y /6=1,与圆(x-1) +y =1相切的直线l:y=kx+t交椭圆于M、N两点,若
已知椭圆x /8+y /6=1,与圆(x-1) +y =1相切的直线l:y=kx+t交椭圆于M、N两点,若椭圆上一点C满足OM向量+ON向量=λOC向量,求实数λ的取值范围.

Answer 1

直线l:y=kx+t与圆(x-1)^2 +y^2 =1相切,
∴|k+t|/√(k^2+1)=1,
平方得k^2+2kt+t^2=k^2+1,k=(1-t^2)/(2t),(*)
把l的方程:y=kx+t①代入x^2/8+y^2/6=1,②得
3x^2+4(k^2x^2+2ktx+t^2)=24,
整理得(3+4k^2)x^2+8ktx+4t^2-24=0,
设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=-8kt/(3+4k^2),
由①,y1+y2=k(x1+x2)+2t=6t/(3+4k^2),
椭圆上一点C满足OM向量+ON向量=λOC向量,
λ^2=（λx)^2/8+(λy)^2/6
=(x1+x2)^2/8+(y1+y2)^2/6
=(8k^2t^2+6t^2)/(3+4k^2)^2=2t^2/(3+4k^2),
把(*)式代入上式,λ^2=2t^4/(t^4+t^2+1),
设u=t^2,则u>=0,λ^2=2u^2/(u^2+u+1),记为f(u),
f'(u)=2[2u(u^2+u+1)-(2u+1)u^2]/(u^2+u+1)^2
=2u(u+2)/(u^2+u+1)^2>=0,f(u)是增函数,f(0)=0,f(+∞)→2,
∴λ^2=f(u)的值域是[0,2),
∴λ的取值范围是(-√2,√2).