（2014•秦淮区一模）如图，AB、AC分别与⊙O相切，切点分别为B、C，过点C作CD∥AB，交⊙O于点D，连接BC、BD．（1）判断BC与BD的数量关系，并说明理由；（2）若AB=9，BC=6，求⊙O的半径．

题目详情

（2014•秦淮区一模）如图，AB、AC分别与⊙O相切，切点分别为B、C，过点C作CD∥AB，交⊙O于点D，连接BC、BD．
（1）判断BC与BD的数量关系，并说明理由；
（2）若AB=9，BC=6，求⊙O的半径．

▼优质解答

答案和解析

（1）BC=BD．理由如下：
连接OB，并反向延长交CD于点E．
∵AB与⊙O相切，切点为B，
∴∠EBA=90°．

∵CD∥AB，
∴∠DEB=∠EBA=90°，即BE⊥CD．
∴CE=ED．
∴BC=BD．
（2）连接AO，与BC交于点F．
∵AB、AC分别与⊙O相切，切点分别为B、C，
∴AB=AC，∠CAO=∠BAO．
∴AO⊥BC，BF=

BC=3．
∴在Rt△AFB中，AF=

AB2−BF2

．
∵∠FAB=∠BAO，∠AFB=∠ABO=90°，
∴△FAB∽△BAO．
∴

，即

．
∴BO=

，即⊙O的半径是

．

补其他方法：
∵AB、AC分别与⊙O相切，切点分别为B、C，
∴AB=AC，即△ABC是等腰三角形．
∵CD∥AB，
∴∠DCB=∠ABC．
由（1）知△BDC是等腰三角形．
∴∠ABC=∠ACB=∠BCD=∠BDC．
∴△ABC∽△BDC．
∴