已知抛物线y=x2+x-2（1）求抛物线与x轴的交点坐标；（2）将抛物线y=x2+x-2沿y轴向上平移，平移后与直线y=x+2的一个交点为点P，与y轴相交于点Q，当PQ∥x轴时，求抛物线平移了几个单位；（3）

Question

已知抛物线y=x²+x-2
（1）求抛物线与x轴的交点坐标；
（2）将抛物线y=x²+x-2沿y轴向上平移，平移后与直线y=x+2的一个交点为点P，与y轴相交于点Q，当PQ∥x轴时，求抛物线平移了几个单位；
（3）将抛物线y=x²+x-2在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的起步部分保持不变，翻折后的图象与原图象在x轴上方的部分组成一个“W”形状的新图象，若直线y=(1)/(2)x+b与该新图象恰好有三个公共点，求b的值．

Answer 1

（1）令y=0，则x²+x-2=0，解得x₁=-2，x₂=1，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（-2，0），（1，0）；
（2）设抛物线向上平移了n个单位，则平移后的抛物线为y=x²+x-2+n，
如图1，∵抛物线y=x²+x-2+n与y轴的交点为（0，n-2），
∴P的纵坐标为n-2，代入y=x+2得，x=n-4，
∴P（n-4，n-2），
∴抛物线y=x²+x-2+n的对称轴为x=(n-4)/(2)=(1)/(2)n-2，
由抛物线y=x²+x-2+n可知对称轴为x=-(1)/(2)，
∴(1)/(2)n-2=-(1)/(2)，解得n=3，
∴当PQ∥x轴时，求抛物线平移了3个单位；
（3）∵y=x²+x-2=（x+(1)/(2)）²-(9)/(4)，
∴抛物线y=x²+x-2的顶点坐标为（-(1)/(2)，-(9)/(4)），
∴抛物线y=x²+x-2图象x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，则翻折部分的抛物线解析式为y=-（x+(1)/(2)）²+(9)/(4)（-2≤x≤1），如图2，
把直线y=(1)/(2)x向上平移，当平移后的直线y=(1)/(2)x+b过点A时，直线y=(1)/(2)x+b与该新图象恰好有三个公共点，所以(1)/(2)×（-2）+b=0，解得b=1；
当直线y=(1)/(2)x+b与抛物线y=-（x+(1)/(2)）²+(9)/(4)（-2≤x≤1）相切时，直线y=(1)/(2)x+b与该新图象恰好有三个公共点，即-（x+(1)/(2)）²+(9)/(4)=(1)/(2)x+b有相等的实数解，整理得x²+(3)/(2)x+b-2=0，△=（(3)/(2)）²-4（b-2）=0，解得b=(41)/(16)，
所以b的值为1或(41)/(16)．