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如图,抛物线y=ax2+bx+4与x轴的两个交点分别为A(-4,0)、B(2,0),与y轴交点于C点,顶点为D点E(1,2)为线段BC的中点,BC的垂直平分线与x轴、y轴分别交于点F、G.若点K在x轴的上方的抛物线上运动,当K运动
题目详情
如图,抛物线y=ax2+bx+4与x轴的两个交点分别为A(-4,0)、B(2,0),与y轴交点于C点,顶点为D
点E(1,2)为线段BC的中点,BC的垂直平分线与x轴、y轴分别交于点F、G.
若点K在x轴的上方的抛物线上运动,当K运动到什么位置时,三角形EFK的面积最大,并求出最大面积?
点E(1,2)为线段BC的中点,BC的垂直平分线与x轴、y轴分别交于点F、G.
若点K在x轴的上方的抛物线上运动,当K运动到什么位置时,三角形EFK的面积最大,并求出最大面积?
▼优质解答
答案和解析
(1)由题意,得 解得,b =-1.
所以抛物线的解析式为,顶点D的坐标为(-1,).
(2)设抛物线的对称轴与x轴交于点M.因为EF垂直平分BC,即C关于直线EG的对称点为B,连结BD交于EF于一点,则这一点为所求点H,使DH + CH最小,即最小为
DH + CH = DH + HB = BD =. 而 .
∴ △CDH的周长最小值为CD + DR + CH =.
设直线BD的解析式为y = k1x + b,则 解得 ,b1 = 3.
所以直线BD的解析式为y =x + 3.
由于BC = 2,CE = BC∕2 =,Rt△CEG∽△COB,
得 CE :CO = CG :CB,所以 CG = 2.5,GO = 1.5.G(0,1.5).
同理可求得直线EF的解析式为y =x +.
联立直线BD与EF的方程,解得使△CDH的周长最小的点H(,).
(3)设K(t,),xF<t<xE.过K作x轴的垂线交EF于N.
则 KN = yK-yN =-(t +)=.
所以 S△EFK = S△KFN + S△KNE =KN(t + 3)+KN(1-t)= 2KN = -t2-3t + 5 =-(t +)2 +.
即当t =-时,△EFK的面积最大,最大面积为,此时K(-,).
所以抛物线的解析式为,顶点D的坐标为(-1,).
(2)设抛物线的对称轴与x轴交于点M.因为EF垂直平分BC,即C关于直线EG的对称点为B,连结BD交于EF于一点,则这一点为所求点H,使DH + CH最小,即最小为
DH + CH = DH + HB = BD =. 而 .
∴ △CDH的周长最小值为CD + DR + CH =.
设直线BD的解析式为y = k1x + b,则 解得 ,b1 = 3.
所以直线BD的解析式为y =x + 3.
由于BC = 2,CE = BC∕2 =,Rt△CEG∽△COB,
得 CE :CO = CG :CB,所以 CG = 2.5,GO = 1.5.G(0,1.5).
同理可求得直线EF的解析式为y =x +.
联立直线BD与EF的方程,解得使△CDH的周长最小的点H(,).
(3)设K(t,),xF<t<xE.过K作x轴的垂线交EF于N.
则 KN = yK-yN =-(t +)=.
所以 S△EFK = S△KFN + S△KNE =KN(t + 3)+KN(1-t)= 2KN = -t2-3t + 5 =-(t +)2 +.
即当t =-时,△EFK的面积最大,最大面积为,此时K(-,).
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