如图，某自来水公司要在公路两侧排水管，公路为东西方向，在路北侧沿直线l1排，在路南侧沿直线l2排，现要在矩形区域ABCD内沿直线将l1与l2接通．已知AB=60m，BC=80m，公路两侧排管费用为每

Question

如图，某自来水公司要在公路两侧排水管，公路为东西方向，在路北侧沿直线l₁排，在路南侧沿直线l₂排，现要在矩形区域ABCD内沿直线将l₁与l₂接通．已知AB=60m，BC=80m，公路两侧排管费用为每米1万元，穿过公路的EF部分的排管费用为每米2万元，设EF与AB所成的小于90°的角为α．
（Ⅰ）求矩形区域ABCD内的排管费用W关于α的函数关系；
（Ⅱ）求排管的最小费用及相应的角α．

Answer 1

（Ⅰ）如图，

过E作EM⊥BC，垂足为M，由题意得∠MEF＝α(0≤tanα≤(4)/(3))．
故有MF=60tanα，EF=(60)/(cosα)，AE+FC=80-60tanα．
∴W=（80-60tanα）×1+(60)/(cosα)×2=80-(60sinα)/(cosα)+(120)/(cosα)=80-(60(sinα−2))/(cosα)；
（Ⅱ）设f（α）=(sinα−2)/(cosα)（0≤α≤α₀，tanα0＝(4)/(3)），
则f′(α)＝(cosα•cosα−(−sinα)•(sinα−2))/(cos2α)=(1−2sinα)/(cos2α)．
令f′（α）=0，得1-2sinα=0，即sinα=(1)/(2)，得α＝(π)/(6)．
∴当α∈(0，(π)/(6))时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，
当α∈((π)/(6)，α0)时，f′（x）＜0，f（x）为减函数．
∴当α＝(π)/(6)时，有f(α)max＝−√(3)，此时Wmin＝80+60√(3)．
答：排管的最小费用为80+60√(3)万元，相应的角为

作业搜用户 2016-12-09