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已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)是R上的偶函数,其图象关于M(3π/4,0)对称,且在[0,π/2]上是单调函数,试求f(x)的解析式
题目详情
已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)是R上的偶函数,
其图象关于M(3π/4,0)对称,且在[0,π/2]上是单调函数,试求f(x)的解析式
其图象关于M(3π/4,0)对称,且在[0,π/2]上是单调函数,试求f(x)的解析式
▼优质解答
答案和解析
函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0≤φ≤π)是R上的偶函数,
所以当x=0时,sinφ=1或sinφ=-1,
又0≤φ≤π,所以φ=π/2,所以f(x)=sin(ωx+π/2),
图象关于M(3π/4,0)对称,则f(3π/4)=sin(ω(3π/4)+π/2)=0
所以 sin(ω(3π/4)+π/2)=cosω(3π/4)=0,ω(3π/4)=π/2+kπ,k∈Z,
ω=2/3+4k/3,k∈Z,
又因为f(x)在[0,π/2]上是单调函数,所以函数的周期T=π,
即 2π/ω=2π/(2/3+4k/3)=π,得k=1,ω=2
故 f(x)=sin(2x+π/2)
其实也可以是 f(x)=cos(2x)
所以当x=0时,sinφ=1或sinφ=-1,
又0≤φ≤π,所以φ=π/2,所以f(x)=sin(ωx+π/2),
图象关于M(3π/4,0)对称,则f(3π/4)=sin(ω(3π/4)+π/2)=0
所以 sin(ω(3π/4)+π/2)=cosω(3π/4)=0,ω(3π/4)=π/2+kπ,k∈Z,
ω=2/3+4k/3,k∈Z,
又因为f(x)在[0,π/2]上是单调函数,所以函数的周期T=π,
即 2π/ω=2π/(2/3+4k/3)=π,得k=1,ω=2
故 f(x)=sin(2x+π/2)
其实也可以是 f(x)=cos(2x)
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