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AB,E是AB的中点,将△ADE沿DE折起,使点A折到点P的位置,且二面角P-DE-C的大小为120°.(1)求证:DE⊥PC;(2)求直线PD与平面BCDE所成角的大小;(3)求点D到平面PBC的距离.
题目详情
AB,E是AB的中点,将△ADE沿DE折起,使点A折到点P的位置,且二面角P-DE-C的大小为120°.
(1)求证:DE⊥PC;
(2)求直线PD与平面BCDE所成角的大小;
(3)求点D到平面PBC的距离.
(1)求证:DE⊥PC;
(2)求直线PD与平面BCDE所成角的大小;
(3)求点D到平面PBC的距离.
▼优质解答
答案和解析
证明:(1)连接AC交DE于F,连接PF,
∵CD∥AB,∴∠BAC=∠ACD,
又∵AD=CD,∴∠DAC=∠ACD,
∴∠BAC=∠DAC,即CA平分∠BAD,
∵△ADE是正三角形,
∴AC⊥DE,即PF⊥DE,CF⊥DE,
∴DE⊥面PCF,∴DE⊥PC
(2)过P作PO⊥AC于O,连接OD,设AD=DC=CB=a,则AB=2a,
∵DE⊥面PCF,∴DE⊥PO,∴PO⊥面BCDE,
∴∠PDO就是直线PD与平面BCDE所成的角.
∵∠PFC是二面角P-DE-C的平面角,
∴∠PFO=60°,在Rt△POD中,,∴直线PD与平面BCDE所成角是
(3)∵DE∥BC,DE在平面PBC外,
∴DE∥面PBC,∴D点到面PBC的距离即为点F到面PBC的距离,过点F作FG⊥PC,垂足为G,
∵DE⊥面PCF,∴BC⊥面PCF∴面PBC⊥面PCF,∴FG⊥面PBC,
∴FG的长即为点F到面PBC的距离,菱形ADCE中,AF=FC,
∴,∵∠PFC=120°,∴∠FPC=∠FCP=30°,
∴
∵CD∥AB,∴∠BAC=∠ACD,
又∵AD=CD,∴∠DAC=∠ACD,
∴∠BAC=∠DAC,即CA平分∠BAD,
∵△ADE是正三角形,
∴AC⊥DE,即PF⊥DE,CF⊥DE,
∴DE⊥面PCF,∴DE⊥PC
(2)过P作PO⊥AC于O,连接OD,设AD=DC=CB=a,则AB=2a,
∵DE⊥面PCF,∴DE⊥PO,∴PO⊥面BCDE,
∴∠PDO就是直线PD与平面BCDE所成的角.
∵∠PFC是二面角P-DE-C的平面角,
∴∠PFO=60°,在Rt△POD中,,∴直线PD与平面BCDE所成角是
(3)∵DE∥BC,DE在平面PBC外,
∴DE∥面PBC,∴D点到面PBC的距离即为点F到面PBC的距离,过点F作FG⊥PC,垂足为G,
∵DE⊥面PCF,∴BC⊥面PCF∴面PBC⊥面PCF,∴FG⊥面PBC,
∴FG的长即为点F到面PBC的距离,菱形ADCE中,AF=FC,
∴,∵∠PFC=120°,∴∠FPC=∠FCP=30°,
∴
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