在正四棱锥S-ABCD中，所有棱长都是2，P为SA的中点．（1）求二面角B-SC-D的大小；（2）如果Q点在棱SC上．那么直线BQ能否与PD垂直，请说明理由．

Question

在正四棱锥S-ABCD中，所有棱长都是2，P为SA的中点．
（1）求二面角B-SC-D的大小；
（2）如果Q点在棱SC上．那么直线BQ能否与PD垂直，请说明理由．

Answer 1

（1）如图所示，取SC的中点E，连结BE，DE，
由题意知∠BED是二面角B-SC-D的平面角，
∵正四棱锥S-ABCD中，所有棱长都是2，P为SA的中点，
∴DE=BE=√(3)，DB=2√(2)，cos∠BED=(DE2+BE2-DB2)/(2BE•DE)=-(1)/(3)，
∴二面角B-SC-D的大小为arccos（-(1)/(3)）．
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，
A（0，-√(2)，0），B（√(2)，0，0），C（0，√(2)，0），
S（0，0，√(2)），P（0，-(√(2))/(2)，(√(2))/(2)），
Q点在棱SC上，设

SQ

=λ

SC

，（0≤λ≤1）
则Q（0，√(2)λ，√(2)（1-λ）），
∴

DP

=(√(2)，-(√(2))/(2)，(√(2))/(2))，

BQ

=(-√(2)，√(2)λ，√(2)(1-λ))，

DP

•

BQ

=-1-2λ=0，
得λ=-(1)/(2)不符合要求，
∴直线BQ与PD不垂直．