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定义在[-1,1]上的偶函数f(x),已知当x∈[0,1]时的解析式为f(x)=-22x+a2x(a∈R).(1)求f(x)在[-1,0]上的解析式;(2)求f(x)在[0,1]上的最大值h(a).
题目详情
定义在[-1,1]上的偶函数f(x),已知当x∈[0,1]时的解析式为f(x)=-22x+a2x (a∈R).
(1)求f(x)在[-1,0]上的解析式;
(2)求f(x)在[0,1]上的最大值h(a).
(1)求f(x)在[-1,0]上的解析式;
(2)求f(x)在[0,1]上的最大值h(a).
▼优质解答
答案和解析
(1)设x∈[-1,0],则-x∈[0,1],f(-x)=-2-2x+a•2-x,
又f(x)为偶函数,所以f(x)=f(-x)=-2-2x+a•2-x,
故f(x)=-2-2x+a•2-x,x∈[-1,0].
(2)f(x)=-22x+a•2x,x∈[0,1].令t=2x,则t∈[1,2],
所以g(t)=at-t2=-(t−
)2+
,
①当
<1,即a<2时,h(a)=g(1)=a-1;
②当1≤
≤2,即2≤a≤4时,h(a)=g(
)=
;
③当
>2,即a>4时,h(a)=g(2)=2a-4.
综上所述,h(a)=
.
又f(x)为偶函数,所以f(x)=f(-x)=-2-2x+a•2-x,
故f(x)=-2-2x+a•2-x,x∈[-1,0].
(2)f(x)=-22x+a•2x,x∈[0,1].令t=2x,则t∈[1,2],
所以g(t)=at-t2=-(t−
a |
2 |
a2 |
4 |
①当
a |
2 |
②当1≤
a |
2 |
a |
2 |
a2 |
4 |
③当
a |
2 |
综上所述,h(a)=
|
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