早教吧作业答案频道 -->数学-->
设函数f(x)的定义域为A,值域为B,如果存在函数x=g(t),使得函数y=f(g(t))的值域仍然是B,那么称函数x=g(t)是函数f(x)的一个等值域变换.(1)判断下列函数x=g(t)是不是函数
题目详情
设函数f(x)的定义域为A,值域为B,如果存在函数x=g(t),使得函数y=f(g(t))的值域仍然是B,那么称函数x=g(t)是函数f(x)的一个等值域变换.
(1)判断下列函数x=g(t)是不是函数f(x)的一个等值域变换?说明你的理由.
①f(x)=2x+1,x∈R,x=g(t)=t2-2t+3,t∈R;
②f(x)=x2-x+1,x∈R,x=g(t)=2t,t∈R;
(2)设函数f(x)=log2(x2−x+1),g(t)=at2+2t+1,若函数x=g(t)是函数f(x)的一个等值域变换,求实数a的取值范围.
(1)判断下列函数x=g(t)是不是函数f(x)的一个等值域变换?说明你的理由.
①f(x)=2x+1,x∈R,x=g(t)=t2-2t+3,t∈R;
②f(x)=x2-x+1,x∈R,x=g(t)=2t,t∈R;
(2)设函数f(x)=log2(x2−x+1),g(t)=at2+2t+1,若函数x=g(t)是函数f(x)的一个等值域变换,求实数a的取值范围.
▼优质解答
答案和解析
(1)①函数f(x)=2x+1,x∈R的值域为R,
∵x=t2-2t+3=(t-1)2+2≥2,
∴y=f(g(t))=2[(t-1)2+2]+1≥5,
所以,x=g(t)不是f(x)的一个等值域变换
②f(x)=x2−x+1=(x−
)2+
≥
,
即f(x)的值域为[
,+∞),
当t∈R时,f(g(t))=(2t−
)2+
≥
,
即y=f(g(t))的值域仍为[
,+∞),
所以x=g(t)是f(x)的一个等值域变换;
(2)由x2-x+1>0解得x∈R
函数f(x)=log2(x2−x+1)=log2[(x−
)2+
]≥log2
即f(x)的值域为[log2
,+∞)
①若a>0,函数g(t)=at2+2t+1有最小值1−
,
只需1−
≤
,即0<a≤2,
就可使函数y=f(g(t))的值域仍为[log2
,+∞)
②若a=0,函数g(t)=at2+2t+1=2t+1,的值域为R,
函数y=f(g(t))的值域仍为[log2
,+∞)
③若a<0,函数g(t)=at2+2t+1,有最大值1−
只需1−
≥
,即a<0,
就可使函数y=f(g(t))的值域仍为[log2
,+∞)
综上可知:实数a的取值范围为(-∞,2].
∵x=t2-2t+3=(t-1)2+2≥2,
∴y=f(g(t))=2[(t-1)2+2]+1≥5,
所以,x=g(t)不是f(x)的一个等值域变换
②f(x)=x2−x+1=(x−
1 |
2 |
3 |
4 |
3 |
4 |
即f(x)的值域为[
3 |
4 |
当t∈R时,f(g(t))=(2t−
1 |
2 |
3 |
4 |
3 |
4 |
即y=f(g(t))的值域仍为[
3 |
4 |
所以x=g(t)是f(x)的一个等值域变换;
(2)由x2-x+1>0解得x∈R
函数f(x)=log2(x2−x+1)=log2[(x−
1 |
2 |
3 |
4 |
3 |
4 |
即f(x)的值域为[log2
3 |
4 |
①若a>0,函数g(t)=at2+2t+1有最小值1−
1 |
a |
只需1−
1 |
a |
1 |
2 |
就可使函数y=f(g(t))的值域仍为[log2
3 |
4 |
②若a=0,函数g(t)=at2+2t+1=2t+1,的值域为R,
函数y=f(g(t))的值域仍为[log2
3 |
4 |
③若a<0,函数g(t)=at2+2t+1,有最大值1−
1 |
a |
只需1−
1 |
a |
1 |
2 |
就可使函数y=f(g(t))的值域仍为[log2
3 |
4 |
综上可知:实数a的取值范围为(-∞,2].
看了 设函数f(x)的定义域为A,...的网友还看了以下:
设f''(x)在R上连续,且f(0)=0,g(x)=f(x)/x(x不为0时),g(x)=f'(0 2020-05-14 …
f(x)=x^2+ax+b(1)函数f(x)的图像过(1,1),f(-1)=f(3),求g(x)= 2020-05-16 …
f(x)是定义在R上的函数,且对任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)-1成立,当f( 2020-06-02 …
设在区间[0,1]上f''(x)>0,则f'(0)f'(1)和f(1)-f(0)的大小顺序是设在区 2020-06-08 …
高数求导问题设f(x)和g(x)是在R上定义的函数,且具有如下性质:(1)f(x+y)=f(x)g 2020-06-18 …
正整数可以分为两个互不相交的正整数子集:{f(1),f(2),f(3)...f(n)...};{g 2020-07-20 …
请问两个函数合在一起可以直接求原函数吗?例如:已知f(x)g(x)及他们的原函数,导函数或N次原函 2020-07-23 …
谁能给解释下复合函数连续性的问题?f(x)在x=x0处连续.g(x)在这点不连续.请问f(x)+g 2020-08-02 …
:设f(x),g(x)是全不为0的多项式,且次"f(x)/(f(x),g(x))">0,次"G(x 2020-08-03 …
设f(x),g(x),h(x)是R上的任意实数函数,如下定义两个函数和(f·g)(x);对任意x∈R 2020-12-22 …