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设f(x)是定义域为R的周期函数,且f(x)最小正周期为2,且f(1+x)=f(1-x),当-1≤x≤0时,f(x)=-x.(1)判定f(x)的奇偶性;(2)试求出函数f(x)在[-1,2]上的表达式.
题目详情
设f(x)是定义域为R的周期函数,且f(x)最小正周期为2,且f(1+x)=f(1-x),当-1≤x≤0时,f(x)=-x.
(1)判定f(x)的奇偶性;
(2)试求出函数f(x)在[-1,2]上的表达式.
(1)判定f(x)的奇偶性;
(2)试求出函数f(x)在[-1,2]上的表达式.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵f(x)是R上的周期函数,最小正周期为2,且f(1+x)=f(1-x),
∴对于任意x∈R,都有f(1+x)=f(1-x)=f(1-x-2)=f(-1-x)=f(-(1+x)),
即f(-x)=f(x);所以,f(x)是R上的偶函数;
(2)∵当-1≤x≤0时,f(x)=-x,
∴当0≤x≤1时,有-1≤-x≤0,
∴f(-x)=-(-x)=x,又f(x)是偶函数,∴f(-x)=f(x),∴f(x)=x;
当1≤x≤2时,有-1≤x-2≤0,且f(x)是最小正周期为 2的函数,
∴f(x)=f(x-2)=-(x-2)=-x+2;
∴f(x)在[-1,2]上的表达式为:f(x)=
;
∴对于任意x∈R,都有f(1+x)=f(1-x)=f(1-x-2)=f(-1-x)=f(-(1+x)),
即f(-x)=f(x);所以,f(x)是R上的偶函数;
(2)∵当-1≤x≤0时,f(x)=-x,
∴当0≤x≤1时,有-1≤-x≤0,
∴f(-x)=-(-x)=x,又f(x)是偶函数,∴f(-x)=f(x),∴f(x)=x;
当1≤x≤2时,有-1≤x-2≤0,且f(x)是最小正周期为 2的函数,
∴f(x)=f(x-2)=-(x-2)=-x+2;
∴f(x)在[-1,2]上的表达式为:f(x)=
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