在英国的某一娱乐节目中，有一种过关游戏，规则如下：转动图中转盘（一个圆盘四等分，在每块区域内分别标有数字1，2，3，4），由转盘停止时指针所指数字决定是否过关．在闯n关时，

Question

在英国的某一娱乐节目中，有一种过关游戏，规则如下：转动图中转盘（一个圆盘四等分，在每块区域内分别标有数字1，2，3，4），由转盘停止时指针所指数字决定是否过关．在闯n关时，转n次，当次转得数字之和大于n²时，算闯关成功，并继续闯关，否则停止闯关，闯过第一关能获得10欧元，之后每多闯一关，奖金翻倍．假设每个参与者都会持续闯关到不能过关为止，并且转盘每次转出结果相互独立．

（1）求某人参加一次游戏，恰好获得10欧元的概率；
（2）某人参加一次游戏，获得奖金X欧元，求X的概率分布和数学期望．

Answer 1

（1）记“某人参加一次游戏，恰好获得10欧元”为事件A，
由题意知，他只闯过了第一关，没有过第二关，
因此，他第一关转得了2、3、4中的一个，
第二关转得了（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2）中的一个，
∴所求的概率为P（A）=(3)/(4)×（5×(1)/(16)）=(15)/(64)；
（2）根据题意，X的所有可能取值为0，10，20，40；
计算P（X=0）=(1)/(4)，P（X=10）=(15)/(64)，
P（X=20）=(3)/(4)×(11)/(16)×(54)/(64)=(891)/(2048)，
P（X=40）=(3)/(4)×(11)/(16)×(10)/(64)=(165)/(2048)，
∴X的概率分布为：

X	0	10	20	40
P	(1)/(4)	(15)/(64)	(891)/(2048)	(165)/(2048)

数学期望为：
E（X）=0×(1)/(4)+10×(15)/(64)+20×(891)/(2048)+40×(165)/(2048)=(7305)/(512)．