f(x)在无穷区间I内有界可导,则f'(x)在I内是否也一定有界呢?我认为有界,但是不会证明.另外想问一下在处理关于中值定理的题目的时候,书上的定理的前提都是[a,b]连续,(a,b)可导,如果遇到了无

Question

f(x)在无穷区间I内有界可导,则f ' (x)在I内是否也一定有界呢?我认为有界,但是不会证明.
另外想问一下在处理关于中值定理的题目的时候,书上的定理的前提都是[a,b]连续,(a,b)可导,如果遇到了无穷区间,这种问题应该怎么化归来运用定理呢?

Answer 1

不对,比如函数f(x)=sin(x^2),有界,但导函数无界.
无穷区间一般是不会出现中值定理的,因为当x趋于无穷时需要f(x)有极限才能有微分中值定理.真出现的话,只能考虑做变量替换.