在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为32，两个顶点分别为A1（-2，0），A2（2，0）．过点D（1，0）的直线交椭圆于M，N两点，直线A1M与NA2的交点为G．（1）求实数a，b

Question

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a＞b＞0）的离心率为(√(3))/(2)，两个顶点分别为A₁（-2，0），A₂（2，0）．过点D（1，0）的直线交椭圆于M，N两点，直线A₁M与NA₂的交点为G．
（1）求实数a，b的值；
（2）当直线MN的斜率为1时，若椭圆上恰有两个点P₁，P₂使得△P₁MN和△P₂MN的面积为S，求S的取值范围；
（3）求证：点G在一条定直线上．

Answer 1

（1）∵椭圆(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a＞b＞0）的离心率为(√(3))/(2)，
两个顶点分别为A₁（-2，0），A₂（2，0）．
∴a=2．e=(c)/(a)=(√(3))/(2)，∴c=√(3)．
又∵b²=a²-c²=4-3=1，∴b=1．…（2分）
（2）由题设可知，椭圆的方程为(x2)/(4)+y²=1，直线MN的方程为y=x-1．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
联立方程组

(x2)/(4)+y2＝1

y＝x−1

，消去y可得5x²-8x=0，
解得x₁=0，x₂=(8)/(5)．
将x₁=0，x₂=(8)/(5)，代入直线MN的方程，解得y₁=-1，y₂