如图，已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的焦点和上顶点分别为F1、F2、B，我们称△F1BF2为椭圆C的特征三角形．如果两个椭圆的特征三角形是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，且三角形

题目详情

如图，已知椭圆C：

＝1(a＞b＞0)的焦点和上顶点分别为F₁、F₂、B，我们称△F₁BF₂为椭圆C的特征三角形．如果两个椭圆的特征三角形是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，且三角形的相似比即为椭圆的相似比．
（1）已知椭圆C1：

+y2＝1和C2：

＝1判断C₂与C₁是否相似，如果相似则求出C₂与C₁的相似比，若不相似请说明理由；
（2）写出与椭圆C₁相似且半短轴长为b的椭圆C_b的方程，并列举相似椭圆之间的三种性质（不需证明）；
（3）已知直线l：y=x+1，在椭圆C_b上是否存在两点M、N关于直线l对称，若存在，则求出函数f（b）=|MN|的解析式．

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答案和解析

（1）椭圆C₂与C₁相似．
因为C₂的特征三角形是腰长为4，底边长为2

的等腰三角形，
而椭圆C₁的特征三角形是腰长为2，底边长为

的等腰三角形，
因此两个等腰三角形相似，且相似比为2：1．
根据题中两个椭圆相似的定义可得：椭圆C₂与C₁相似．-------（4分）
（2）∵椭圆C_b与椭圆C₁相似
∴椭圆C_b的长轴是短轴的2倍
∵椭圆C_b的半短轴长为b
∴椭圆C_b的方程为：

4b2

＝1(b＞0)．------------------------（7分）
由（1）可得两个相似椭圆之间的性质有：
①两个相似椭圆的面积之比为相似比的平方；
②分别以两个相似椭圆的顶点为顶点的四边形也相似，相似比即为椭圆的相似比；
③两个相似椭圆被同一条直线所截得的线段中点重合，过原点的直线截相似椭圆所得线段长度之比恰为椭圆的相似比．----（10分）
（3）假定存在满足条件的两点M、N，则设M、N所在直线为y=-x+t，MN中点为（x₀，y₀）．
则

y＝−x+t

4b2

＝1

⇒5x²-8tx+4（t²-b²）=0．-------------------（12分）
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），可得