椭圆x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的一个焦点是F（1，0），已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知Q（x0，y0）为椭圆上任意一点，求以Q为切点，椭

Question

椭圆(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1(a＞b＞0)的一个焦点是F（1，0），已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知Q（x₀，y₀）为椭圆上任意一点，求以Q为切点，椭圆的切线方程．
（3）设点P为直线x=4上一动点，过P作椭圆两条切线PA，PB，求证直线AB过定点，并求出该定点的坐标．

Answer 1

（1）由题意可得，△EFG为边长是(2b)/(3)，高为c=1的等边三角形．
tan60°＝(OF)/((1)/(2)EG)＝(1)/((b)/(3))＝√(3)，故b＝√(3)，而c=1，所以a＝√(b2+c2)＝2
椭圆的标准方程为(x2)/(4)+(y2)/(3)＝1（3分）
（2）设以Q为切点的切线方程的斜率为k，
①若y₀＞0，设f(x)＝√(3(1−(x2)/(4)))，
则f′(x)＝(−x)/(4√(3(1−(x2)/(4))))，k＝f′(x0)＝(−x0)/(4√(3(1−(x02)/(4))))
由于Q（x₀，y₀）在椭圆上，故(x02)/(4)+(y02)/(3)＝1，
即y0＝√(3(1−(x02)/(4)))∴k＝(−3x0)/(4y0)
此时切线方程为y−y0＝(−3x0)/(4y0)(x−x0)，整理得：(xx0)/(4)+(yx0)/(3)＝(y20)/(3)+(x20)/(4)
将(x02)/(4)+(y02)/(3)＝1代入，得(xx0)/(4)+(yx0)/(3)＝1（6分）
②若y₀＜0，设f(x)＝−√(3(1−(x2)/(4)))，
则f′(x)＝(x)/(4√(3(1−(x2)/(4))))，k＝f′(x0)＝(x0)/(4√(3(1−(x02)/(4))))
由于Q（x₀，y₀）在椭圆上，故(x02)/(4)+(y02)/(3)＝1，
即y0＝−√(3(1−(x02)/(4)))∴k＝(−3x0)/(4y0)
于是与①同理可得切线方程为(xx0)/(4)+(yx0)/(3)＝1（8分）
③若y₀=0，则Q（2，0），切线方程为x=2，亦满足(xx0)/(4)+(yx0)/(3)＝1
综上所述，切线方程为(xx0)/(4)+(yx0)/(3)＝1（9分）
（3）设点P（4，t），切点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由（2）可知两切线方程PA，PB分别为(xx1)/(4)+(yy1)/(3)＝1，(xx2)/(4)+(yy2)/(3)＝1（11分）
P点在切线PA，PB上，故P（4，t）满足(xx1)/(4)+(yy1)/(3)＝1，(xx2)/(4)+(yy2)/(3)＝1
得：x1+(ty1)/(3)＝1，x2+(ty2)/(3)＝1
故A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）均满足方程x+(ty)/(3)＝1，
即x+(ty)/(3)−1＝0为AB的直线方程．（13分）x+(ty)/(3)−1＝0中，
令y=0，则x=1，故AB过定点（1，0），题得证．（14分）